Question

calcule as derivadas implicitas em dy/dx x²y+4x³+5y+9=0 (por gentileza, paço a paço)

Answer 1

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Encontrar a derivada de  y  em relação a  x,  dada a função descrita implicitamente:

     $\mathsf{x^2y+4x^3+5y+9=0}$


Tendo em mente que  y  é uma função de  x,  deriva-se ambos os lados:

     $\mathsf{\dfrac{d}{dx}(x^2y+4x^3+5y+9)=\dfrac{d}{dx}(0)}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{d}{dx}(x^2y)+4\,\dfrac{d}{dx}(x^3)+5\,\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d}{dx}(9)=\dfrac{d}{dx}(0)}$


Aplique a regra do produto para derivar  x²y  no lado esquerdo:

     $\mathsf{\left[\dfrac{d}{dx}(x^2)\cdot y+x^2\cdot \dfrac{dy}{dx}\right]+4\cdot 3x^{3-1}+5\,\dfrac{dy}{dx}+0=0}\\\\\\ \mathsf{\left[2x\cdot y+x^2\cdot \dfrac{dy}{dx}\right]+12x^2+5\,\dfrac{dy}{dx}=0}\\\\\\ \mathsf{2xy+x^2\,\dfrac{dy}{dx}+12x^2+5\,\dfrac{dy}{dx}=0}$


Isole  $\mathsf{\dfrac{dy}{dx}:}$

     $\mathsf{x^2\,\dfrac{dy}{dx}+5\,\dfrac{dy}{dx}=-2xy-12x^2}\\\\\\ \mathsf{(x^2+5)\,\dfrac{dy}{dx}=-2xy-12x^2}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-2xy-12x^2}{x^2+5}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)