Question

obtenha o valor de m para que a distancia do ponto A(0,7) ao ponto B(4,m) seja de 5 unidades 

Answer 1

Boa tarde. Para calcular a distância de um ponto a outro, utilizamos a seguinte fórmula.

$\boxed{d = \sqrt{(X_{b}-X_{a})^{2}+(Y_{b}-Y_{a})^{2}}}$

Geralmente, em exercícios deste tipo, é dado dois pontos, pra descobrir a distância. Por isso, só fica o "d" pra gente descobrir.

Porém, neste caso, nos falta uma coordenada, que é o m. Em contrapartida, já temos uma distância determinada, fazendo que voltemos só a ficar com uma incógnita. Por isso, se a distância deve valer 5, vamos substituir o "d" por 5.

$\sqrt{(X_{b}-X_{a})^{2}+(Y_{b}-Y_{a})^{2}} = d \\\\ \sqrt{(4-0)^{2}+(m-7)^{2}} = 5 \\\\ \sqrt{(4)^{2}+(m-7)^{2}} = 5 \\\\ \sqrt{16+(m-7)^{2}} = 5 \\\\ para \ sumir \ com \ a \ raiz, \ elevamos \ os \ dois \ lados \ ao \ quadrado \\\\ (\sqrt{16+(m-7)^{2}})^{2} = (5)^{2} \\\\ 16+(m-7)^{2} = 25 \\\\ distribuindo \ os \ quadrados$


$16+m^{2}-14m+49 = 25 \\\\ organizando \\\\ m^{2}-14m+49+16 = 25 \\\\ como \ \acute{e} \ uma \ equa\c{c}\~{a}o \ de \ 2\° \ grau, \ igualamos \ a \ zero \\\\ m^{2}-14m+49+16-25 = 0 \\\\ m^{2}-14m+40 = 0$

Caímos numa equação de segundo grau, que você deve resolver por Bhaskara.

$m^{2}-14m+40 = 0 \\\\ \Delta = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c \\\\ \Delta = (-14)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (40) \\\\ \Delta = 196 - 160 \\\\ \Delta = 36$


$m^{2}-14m+40 = 0 \\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} \\\\ x = \frac{14 \pm 6}{2} \\\\\\ \rightarrow x' = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = \boxed{10} \\\\ \rightarrow x'' = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = \boxed{4}$

Então estes devem ser os valores de "m".

$\boxed{\boxed{S = \{4,10\}}}$