Question

Um lago possui uma população de algas, em sua superfície, que dobra sua área de ocupação a cada dia. No dia 30 de março, as algas ocuparam exatamente toda a superfície do lago. Calcule em qual dia o lago possuía metade da área ocupada.

Answer 1

=> Intuitivamente sabemos que se a ocupação duplica a cada dia ...então ela ocupará 50% da área ...no dia anterior á ocupação da totalidade da área 

Explicar isso sob a forma de conceito matemático ...é que é um pouco mais complicado ...vamos lá a isso:

Estamos perante uma PG de razão = 2 
o seu termo geral será: 
an = a1 . q^(n-1) 

onde 

an = (superfície total do tanque) = “X” 
a1 = a determinar 
n = 30   

assim o termo geral será: 

X = a1 . 2^(30-1) 

X = a1 . 2^(29) 

X/(2^29) = a1 <--- primeiro termo da Progressão   

..Voltando ao conceito de Termo geral   vamos calcular agora o valor (dias) para o qual an = X/2 ..ou seja em que esteja ocupada metade da superfície do tanque 

Assim:   
an = a1 . q^(n-1)   

como 
an = X/2 
r = 2 
a1 = X/(2^29)   

então terems

X/2 = X/(2^29) . 2^(n-1) 

(X/2)/(X/(2^29) = 2^(n-1) 

(X/2).(2^29/X) = 2^(n-1) 

(2^29/2) = 2^(n-1) 

(2^28) = 2^(n-1) 

temos bases iguais …logo 

28 = n – 1 

28 + 1 = n 

29 = n <--número de dias em que está ocupada 50% da superfície do tanque