Question

1) Calcular o valor de m para que as retas sejam coplanares:

$r: \left \{ {{y=2x + 3} \atop {z=3x-1}} \right. \ s: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{m}$

Answer 1

Para que as retas seja coplanares, elas devem ser paralelas ou concorrentes. Caso sejam reversas, elas não serão coplanares.

A reta r foi dada coma a intersecção de dois planos. Tomando x = α podemos reescrever a reta r com as seguintes equações paramétricas.

x = α
y = 3 + 2α
z = -1 + 3α

vemos que vetor r = (1,2,3) é diretor da reta r.

A reta s foi dada pela equações simétricas e podemos reescrevê-la com as equações paramétricas também:

x = 1 + 2β
y = -β
z = mβ

Assim, o vetor s = (2,-1,m) é diretor da reta s.

Vemos que os vetores diretores de r e s não são proporcionais portanto não tem mesma direção, logo r e s não são paralelas.
Então, para que r e s sejam coplanares elas deve ser concorrentes, portanto deve existir um ponto P = (a,b,c) que satisfaça as equações das duas retas, assim o ponto P pertence tanto a reta r e s e elas serão concorrentes em P, portanto vamos igualar as equções paramétricas da duas retas para determinar o valor de m. 

α = 1 + 2β
3 + 2α = -β
-1 + 3α = mβ

Resolvendo esse sistema de 3 equações e 3 icógnitas podemos determinar o valor de m para que r e s sejam concorrentes e portanto coplanares.

Substituindo a equação 1 na 2 temos que:

3 + 2(1 + 2β) = -β ⇒
3 + 2 + 4β = -β ⇒
5β = -5 ⇒
β = -1

Substituindo o valor de β na equação 1 do sistema, temos que:

α = 1 + 2(-1) ⇒
α = 1 - 2 ⇒
α = -1

Com os valores de α e β, determinamos m pela equação 3 do sistema:

-1 + 3(-1) = m(-1) ⇒
-1 - 3 = -m ⇒
m = 4