Question

O MMC de dois números a e b vale 60 e o MDC de ambos vale x. Determine todos os pares de números que satisfazem a condição: a/x + b/x = 7.

Answer 1

Sabe-se que,
$MMC (a, ~b) \cdot MDC (a, ~b) = a \cdot b$

Substituindo os valores de MDC e MMC fornecidos pelo enunciado, teremos,
$60 \cdot x = a \cdot b \\ \\ x= \frac{a \cdot b}{60}$

*Lembrando que o x representa diretamente o MDC de ambos os números.

Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
$\left \{ {{ \frac{a}{x}+ \frac{b}{x}= 7 ~~~(I) } \atop {x= \frac{a \cdot b}{60} } ~~~(II)} \right.$

Substituindo II em I:
$\frac{a}{ \frac{a \cdot b}{60} } + \frac{b}{ \frac{a \cdot b}{60} } = 7 \\ \\ \not a \cdot \frac{60}{\not a \cdot b} + \not b \cdot \frac{60}{a \cdot \not b} = 7 \\ \\ \frac{60}{b}+ \frac{60}{a} = 7$

Quando trabalhamos com MMC e MDC temos como base os números naturais exceto o zero. Agora, pode-se pensar quais dois números naturais* que somados dão 7. 
$1+6= 7 \\ \\ 2+5= 7 \\ \\ 3+4= 7$

*4+3= 7, por exemplo, seria reciproco de 3+4= 7, por isso, não é necessário analisá-lo, assim como os outros seguintes.

Por fim,
$1+6= 7 ~~~ \to ~~~ \frac{60}{b}+ \frac{60}{a} = 7 ~~~ \to ~~~ b= 60 ~e ~a= 10; \\ \\ 2+5= 7~~~ \to ~~~ \frac{60}{b}+ \frac{60}{a} = 7 ~~~ \to ~~~ b= 30 ~e ~a= 12; \\ \\ 3+4= 7 ~~~ \to ~~~ \frac{60}{b}+ \frac{60}{a} = 7 ~~~ \to ~~~ b= 20 ~e ~a= 15.$

Os pares serão 60 e 10, 30 e 12 e 20 e 15.