Question

o valor de $x^{2}$ + $y^{2}$ onde x e y são números inteiros e positivos tais que xy + x + y = 20 e x2y + xy2 = 96 é?

a) 12
b) 36
c) 20
d) 40

Answer 1

(I) x + y + x * y = 20

(II) x² * y + x * y² = 96

Chamando (x + y) de z :

Em (I) :

(x + y) + x * y = 20 
z + x * y = 20
 
Em (II) :

x² * y + x * y² = 96 ⇒ Fatorando :
x * y * (x + y)  = 96 ⇒ (x + y) = z :
x * y * z = 96

Fazendo o sistema :
{x * y + z = 20 (I)
{x * y * z = 96  (II)

Em (I) → x * y = 20 - z ⇒ Substituindo em (II) :

(20 - z) * z = 96
20 * z - z² = 96 ⇒ "Arrumando" :

z² - 20 * z + 96 = 0
(a = 1, b = -20, c = 96)
 
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = (-20)² - 4 * 1 * 96
Δ = 400 - 384
Δ = 16

z = (-b +- √Δ) / 2 * a
z = (-(-20) +- √16) / (2 * 1)

Daí tiramos que :
Ou z = 12 ou z = 8...

Para z = 8 ⇒

Tínhamos que x * y * z = 96, então, substituindo :
x * y * 8 = 96
x * y = 96 / 8
x * y = 12

Como z = (x+y), então temos :
z = 8
(x + y) = 8 ⇒ Elevando ambos ao quadrado :
(x + y)² = 8² ⇒ Por trinômio quadrado perfeito :
x² + 2 * x * y + y² = 64 ⇒ x * y = 12
x² + 2 * 12 + y² = 64
x² + 24 + y² = 64
x² + y² = 64 - 24
x² + y² = 40 ⇒ Alternativa d) !