Question

Para que a diferença entre as raízes da equação, em x, 2x²-(a+1).x+(a-1) = 0 possa ser igual ao produto dessas raízes, devemos ter:
A) a = 3
B) a = -2
C) a = 0,5
D) a = -0,5
E) a = 2
Sei que a resposta é alternativa E, porém não sei como resolver

Answer 1

Olá David, bom dia!

Considere a seguinte equação de grau 2: $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$. Sabemos que suas raízes são dadas por:

$\mathbf{x_1 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \ \ e \ \ x_2 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$

 Sabemos também que o produto entre "x_1" e "x_2" é dado por $\mathbf{\frac{c}{a}}$.

 Com isso, de acordo com o enunciado:

$\\ \displaystyle \mathsf{|x_1 - x_2| = \frac{c}{a}} \\\\\\ \mathsf{\left | \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right | = \frac{c}{a}} \\\\\\ \mathsf{\left | - \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right | = \frac{c}{a}} \\\\\\ \mathsf{\left | \frac{2\sqrt{\Delta}}{2a} \right | = \frac{c}{a}}$

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{\sqrt{\Delta}}{a} = \frac{c}{a}, \qquad a \neq 0} \\\\ \mathsf{\sqrt{\Delta} = c} \\\\ \mathsf{\Delta = c^2} \\\\ \mathsf{b^2 - 4ac = c^2}$

 Bom! agora fazemos uso da equação dada no enunciado, veja:

$\\ \displaystyle \mathsf{b^2 - 4ac = c^2, \qquad \begin{cases} \mathsf{a = 2} \\ \mathsf{b = - (a + 1)} \\ \mathsf{c = a - 1}\end{cases}} \\\\\\ \mathsf{\left [ - (a + 1) \right ]^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a - 1) = (a - 1)^2} \\\\ \mathsf{a^2 + 2a + 1 - 8(a - 1) = a^2 - 2a + 1} \\\\ \mathsf{a^2 + 2a + 1 - 8a + 8 - a^2 + 2a - 1 = 0} \\\\ \mathsf{- 4a + 8 = 0} \\\\ \mathsf{4a = 8} \\\\ \boxed{\mathsf{a = 2}}$

 Espero ter ajudado!

Bons estudos!!