Question

Como eu irei transformar as dizimas periódicas em fração geratriz.
Ex: 1, 55555... ; 0,278278278... ; 0, 25999...

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Carol, que a resolução é simples.
Pede-se para encontrar as frações geratrizes das seguintes dízimas periódicas, que vamos chamar, cada uma, de um certo "x", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa:

a) x = 1,555555.........
b) x = 0,2782782782...
c) x = 0,259999999.......

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Existe um método prático (e seguro) para encontrarmos frações geratrizes de quaisquer dízimas periódicas.
Esse método consiste em multiplicarmos, uma ou mais vezes, a dízima periódica dada por uma potência de "10", capaz de, após fazermos algumas operacionalizações, termos feito "desaparecer" o período (período, em dízimas periódicas, é aquela parte que se repete. Daí o nome de: dízima periódica).
Então vamos trabalhar com cada uma das dízimas periódicas dadas, e que são:

i.a) x = 1,5555555.....

Veja: vamos multiplicar "x" por "10". Assim, teremos:

10*x = 10*1,5555555.....
10x = 15,55555......

Agora basta subtrairmos "x" de "10x" e você vai ver que teremos feito "desaparecer" o período. Veja:

10x = 15,555555....
..- x = - 1,5555555....
-------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos;
..9x = 14,000000....... --- ou apenas
9x = 14
x = 14/9  <--- Esta é a resposta. Esta é a fração geratriz da dízima: 1,55555.....


i.b) x = 0,2782782782...... (note que o período é "782", que é a parte que se repete indefinidamente).
Veja: vamos multiplicar "x" por "10" e depois multiplicaremos esse mesmo "x" por "10.000". E, após fazermos a subtração de "10x" de "10.000x", você vai ver que teremos feito desaparecer o período.
Então vamos ver:
multiplicando "x' por "10", teremos:

10*x = 10*0,2782782782...
10x = 2,782782782....

Agora multiplicaremos "x' por "10.000", ficando:

10.000*x = 10.000*0,2782782782.....
10.000x = 2.782,782782782......

Finalmente, agora vamos subtrair "10x" de "10.000x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período. Veja:

10.000x = 2.782,782782782.....
..... - 10x = .....- 2,782782782....
-------------------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
..9.990x = 2.780,0000000..... ou apenas:

9.990x = 2.780
x = 2.780/9.990 ---- simplificando-se numerador e denominador por "10", ficaremos apenas com:

x = 278/999 <--- Esta é a resposta. Esta é a fração geratriz da dízima: 0,2782782....


i.c) x = 0,25999999.....

Veja: basta multiplicar "x" por "100" e depois esse mesmo "x' por "1.000" e depois, ao subtrairmos "100x" de "1.000x", teremos feito desaparecer o período.
Vamos multiplicar  "x" por "100", ficando:

100*x = 100*0,25999999....
100x = 25,9999999.....

Agora vamos multiplicar "x" por "1.000", ficando:

1.000*x = 1.000*0,25999999.....
1.000x = 259,99999....

Agora vamos subtrair, membro a membro, "100x" de "1.000x" ( e você vai ver que teremos feito desaparecer o período). Veja:

1.000x = 259,9999999....
- 100x  = - 25,9999999.....
------------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
..900x = 234,0000000.... --- ou apenas:

900x = 234
x = 234/900 ----- simplificando-se numerador e denominador por "18", temos:
x = 13/50 <--- Esta é a resposta. Esta é a fração geratriz da dízima: 0,259999.....

A propósito, note que 0,259999999....... fica tão perto, mas tão perto, de "0,26" que é considerada como tal. Tanto é assim que se você utilizar a sua fração geratriz "13/50" vai notar que a divisão de "13" por "50" dá exatamente igual a "0,26".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir