Question

O ponto médio do segmento definido pelos pontos A(2, -5) e B(-2,-3) é o centro de uma circunferência . Considerando que o raio de seja igual a 2, assinale a alternativa que contém a sua equação reduzida.

Prezados: Em anexo segue as alternativas da questão, desde de já agradeço quem poder me ajudar!

Answer 1

O enunciado fala que o ponto médio do segmento definido pelos pontos A=(2,-5) e B=(-2,-3) é o ponto central da circunferência.

Vamos então definir quem é o centro da circunferência:

$M_x=C_x=\frac{A_x+B_x}{2}=\frac{2-2}{2}=0\\\\M_y=C_y=\frac{A_y+B_y}{2}=\frac{-5-3}{2}=-\frac{8}{2}=-4$

Ou seja o ponto central da circunferência é:

$C=\left(C_x,C_y\right)$
$C=\left(0,-4\right)$

Agora basta substituir na equação da circunferência:

 $C:R^2=\left(x-C_x\right)^2+\left(y-C_y\right)^2\\C:2^2=\left(x-0\right)^2+\left(y-\left(-4\right)\right)^2\\C:4=x^2+\left(y+4\right)^2\\\boxed{\bold{C:x^2+\left(y+4\right)^2=4}}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, João, que a resolução é simples.
Pede-se a equação reduzida da circunferência cujo centro é o ponto médio dos pontos A(2; -5) e B(-2; -3), sendo o raio igual a "2".

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Note que o ponto médio M(xm; ym) de um segmento AB, com A(xa; ya) e B(xb; yb) é dado da seguinte forma:

xm = (xa+xb)/2
e
ym = (ya+yb)/2

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então o ponto médio do segmento AB da sua questão, com A(2; -5) e B(-2; -3) será dado por M(xm; ym) e será encontrado assim:

xm = (2+(-2))/2
xm = (2-2)/2
xm = 0/2
xm = 0 <--- Esta será a abscissa do ponto médio.

ym = (-5+(-3))/2
ym = (-5 - 3)/2
ym = (-8)/2
ym = - 4 <--- Esta será a ordenada do ponto médio.

ii) Assim, o ponto médio M(xm; ym) será o ponto M(0; -4)

Como esse ponto médio também é o centro da circunferência, então teremos que o centro será: C(0; -4).

Agora veja isto: quando você já conhece o centro de uma circunferência C(x₀; y₀) e o seu raio = r , a sua equação reduzida será encontrada da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r² .

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a equação reduzida da circunferência da sua questão, que tem centro em C(0; -4) e r = 2,  será:

(x-0)² + (y-(-4))² = 2²
(x)² + (y+4)² = 4 ---- ou apenas:
x² + (y+4)² = 4 <--- Esta é a resposta. É a 3ª opção. Esta é a equação reduzida pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.