Question

Quantos anagramas da palavra GARRAFA:
a) Começam pela letra G?
b) Começam pela sílaba FA?

Answer 1

Olá!

Primeiramente, devemos perceber que, para responder a essas questões, devemos utilizar permutação com repetição, e não permutação simples, uma vez que, a palavra possui letras iguais, e, ao utilizar a permutação simples, iríamos considerar como se a palavra tivesse apenas letras distintas. Lembrando ainda, que, em permutação com repetição, dividimos o total de permutações possíveis pelo total de letras de cada tipo com repetição.

a) Quando exigimos que os anagramas comecem com a letra G, devemos fixar tal letra do início da palavra, e, permutar somente as outras letras.

A palavra GARRAFA, possui 7 letras, porém, todos os anagrama deverão começar com G, então, vamos permutar apenas as 6 letras restantes, prestando atenção que:

A letra A repete-se 3 vezes;
A letra R repete-se 2 vezes.

Assim, como foi descrito no início da questão, vamos calcular a quantidade de anagramas, seguindo a seguinte lógica:
$P^{a,b...} _{n}= \frac{n!}{a!b!...}$ (n é o número de letras a serem permutadas, e (a, b...), é a quantidade de repetições de cada letra).

Agora, que já conhecemos a fórmula, podemos concluir que a quantidade de anagramas é:
$P^{3,2} _{6}= \frac{6!}{3!2!}$
$P^{3,2} _{6}= \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!2!}$
$P^{3,2} _{6}= \frac{6\cdot5\cdot4}{2!}$
$P^{3,2} _{6}= \frac{6\cdot5\cdot4}{2}$
$P^{3,2} _{6}= \frac{120}{2}$
$P^{3,2} _{6}= 60$

Logo, podemos concluir que, a quantidade de anagramas da palavra GARRAFA, e que, começam com G é 60.

b) Dessa vez, vamos proceder de maneira semelhante ao item anterior, mas, dessa vez vamos fixar duas letras no início da palavra, ao invés de duas.

Como já sabemos, a palavra GARRAFA, possui 7 letras, mas, vamos permutar apenas 5 letras, já que, duas estarão fixadas no início da palavra, mas, novamente, prestando atenção nas repetições de letras:

A letra A, repetirá 2 vezes, já que, uma das letras A's, está fixada no início da palavra;
A letra R, repetirá 2 vezes, como no item anterior também.

Assim, chegamos a conclusão de que, a resposta desse problema será dada por:
$P^{2,2} _{5}= \frac{5!}{2!2!}$
$P^{2,2} _{5}= \frac{5\cdot4\cdot3\cdot2!}{2!2!}$
$P^{2,2} _{5}= \frac{5\cdot4\cdot3}{2!}$
$P^{2,2} _{5}= \frac{60}{2}$
$P^{2,2} _{5}= 30$

Logo, concluímos que, a quantidade de anagramas da palavra GARRAFA, que se iniciam com FA é 60.

Se tiver alguma dúvida, pode me perguntar nos comentários.