Question

Prove que $\sqrt{a}* \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ é válido apenas para $((a,b)\in\mathbb{R}_{+} )$.

Answer 1

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Primeiramente retomemos a definição da raiz quadrada de um número real.

Para todo  x ≥ 0,  existe um único  y ≥ 0  tal que  y² = x.  Este número  y  é definido como a raiz quadrada do número  x.  Denota-se

     y = √x


Resumidamente,

     ∀  x ≥ 0,  ∃!  y ≥ 0  tal que  y² = x

     ⇔    y = √x.


Nos reais, não se define a raiz quadrada de números negativos de modo que a expressão  √x  só faz sentido quando  x ≥ 0.

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Mostrar que  √a · √b = √(ab)  somente se  a ≥ 0  e  b ≥ 0.


•   Se  a < 0  ou  b < 0,

não estaria definido  √a  ou não estaria definido  √b.  Logo, o lado esquerdo da igualdade

     √a · √b

não faria sentido.


•   Se  a ≥ 0  e  b ≥ 0,

estão definidos  √a  e  √b.  Por definição, temos que

    √a ≥ 0;

    √b ≥ 0.


Sendo assim,

     √a · √b ≥ 0


Temos também que  ab ≥ 0,  pois é o produto de dois números não-negativos.

Usando a definição de raiz quadrada e aplicando algumas propriedades de potenciação, temos que

     (√a · √b)²

     = (√a)² · (√b)²

     = a · b

     ∴   (√a · √b)² = ab


Portanto,

     √a · √b = √(ab)          ✔

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A volta é ainda mais simples de verificar, pois se  √a · √b = √(ab),  então devemos ter necessariamente  a ≥ 0  e  b ≥ 0,  do contrário o lado esquerdo da igualdade não teria sentido definido nos reais.


Assim, fica demonstrado que

     √a · √b = √(ab)  se e somente se  a ≥ 0  e  b ≥ 0.


Bons estudos! :-)