Question

Determinar o valor de "m" para que seja de 30º o ângulo entre os planos:

$\pi$ 1: x + my + 2z - 7 = 0 e $\pi$ 2: 4x + 5y + 3z - 2 = 0

Answer 1

$cos \alpha = \frac{|N1.N2|}{||N1|| ||N2||} \\ cos30= \frac{(1,m,2)(4,5,3)}{ \sqrt{1^2+m^2+2^2} \sqrt{4^2+5^2+3^2} } \\ \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{4+5m+6 }{ \sqrt{5+m^2} \sqrt{50} } \\ \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{10+5m}{ \sqrt{250+50m^2} } \\ 20+10m= \sqrt{750+150m^2} \\ (20+10m)^2= 750+150m^2 \\ 400+400m+100m^2=750+150m^2 \\ -50m^2+400m-350=0$

-m²+8m-7=0
Δ=8²-4.(-1)(-7)
Δ=36

m=(-8+-√36)/2.(-1)
m=(-8+-6)/-2
m1=-2/-2                  m2=-14/-2
m1=1                       m2=7

Answer 2

$\boxed{ \pi :x+my+2z-7=0}\\\\\\ \boxed{\beta :4x+5y+3z-2=0}$

o vetor normal do plano π
(1,m,2) = A

o vetor normal do plano β
(4,5,3) = B
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o angulo entre os planos vai ser igual o angulo formado pelo seus vetores normais

a formula é
$\boxed{\boxed{cos(\theta)= \frac{A*B}{|A|*|B|} }}$

lembrando que queremos que o angulo seja 30°

cos 30 =$\frac{ \sqrt{3} }{2}$

ficaremos com 

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{A*B}{|A|*|B|}$

tambem sabendo que 
$|A|= \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

teriamos que eliminar essas raízes ..pra isso vamos elevar os dois lados ao quadrado , ficando
$(\frac{ \sqrt{3} }{2})^2 = (\frac{A*B}{ |A|*|B|})^2\\\\ \boxed{\frac{3}{4} = \frac{(A*B)^2}{|A|^2 * |B|^2} }$

desta forma 
$|A|=( \sqrt{x^2+y^2+z^2} )^2\\\\|A|=x^2+y^2+z^2$

só estou simplificando o processo ja..pq sei que la na frente teremos que usar isso
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$A=(1,m,2)\\\\|A|^2=(1^2+m^2+2^2)=5+m^2$

em B
$B=(4,5,3)\\\\|B|^2=4^2+5^2+3^2=50$
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o produto escalar entre AxB
$(1,m,2)*(4,5,3)\\\\(1*4)+(m*5)+(2*3)\\\\4+5m+6\\\\10+5m=A*B\\\\\\\\\to(A*B)^2=(10+5m)^2\\\\\boxed{(A*B)^2=100+100m+25m^2}$

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colocando tudo na formula

$\frac{3}{4} = \frac{100+100m+25m^2}{(5_+m^2)*50 } \\\\ \frac{3}{4}=\frac{100+100m+25m^2}{(250+50m^2)}\\\\ \frac{3*(250+50m^2)}{4} =100+100m+25m^2\\\\3*(250+50m^2)=4*(100+100m+25m^2)\\\\750+150m^2=400+400m+100m^2\\\\750-400-400m+150m^2-100m=0\\\\\boxed{350-400m+50m^2=0}$

simplificando essa equação do segundo grau dividindo tudo por 50
$7-8m+m^2=0$

aplicando bhaskara vc vai achar os valores de m

m= 1 ou m= 7
 para que o angulo entre os planos seja 30°