Question

$Mostre \ atrav\acute{e}s \ de \ todos \ os \ c\acute{a}lculos \ matem\acute{a}ticos \ necess\acute{a}rios \\ para \ a \ demonstra\c{c}\tilde{a}o \ da \ express\tilde{a}o \ que \ permite \ o \ c\acute{a}lculo \ do \\ volume \ de \ um \ tronco \ de \ cilindro.$

Answer 1

Bom dia, Ludeen!

Observe a imagem (1) que está em anexo. Ela tem os nomes das variáveis que vamos usar para essa demonstração. Agora olhemos para a vista lateral da parte cortada; Isso forma um triângulo, com as medidas mostradas em 2. Tomemos a medida "e" como a distância do centro da base do tronco à parte cortada, como mostra a imagem, e h o ponto médio dos pontos extremos do corte.

Note, ainda, que na imagem 2, temos dois triângulos opostos pelo vértice com base R e altura h, e por isso, notamos que eles, por serem construídos como retângulos, possuem a mesma área, e mais ainda, são iguais! Logo, $A_1=A_2$

A partir disso, podemos tranferir esse triângulo vermelho(imagem), que é sólido, para o triângulo verde, o que mantém a área e o volume. Com isso, temos um cilindro verdadeiro de base $R$ e altura $e$

O volume do tronco é o volume do cilindro, que é:

$V_T=A_b\cdot H=\pi R^2\cdot e\\ \\ \boxed{V_T=\pi\cdot R^2\cdot e}$

E pronto!