Question

e na mesma condição mais tendo que ter um vetor com modulo 5?


Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonais aos vetores U=(1,1,0) e V=(2,-1,3). Nas mesmas condições, determinar um vetor de modulo 5

Answer 1

Um vetor ortogonal a "u" e "v" pode ser obtido pelo produto vetorial desses vetores.
            |  i    j     k  |
u x v = |  1   1   0  | = i(3 - 0) + j(0 - 3) + k(-1 - 2) = 3i - 3j - 3k = (3, -3, -3)
            |  2  -1   3  |

Qualquer vetor proporcional ao vetor (3, -3, -3) será ortogonal a "u" e "v". Portanto podemos multiplicar esse vetor por uma constante k para obtermos um vetor de módulo 5 ou 1. Vamos fazer com módulo 5

|| k * (3, -3, -3) || = 5 ⇒
| k | * || (3, -3, -3) || = 5 ⇒
| k | = 5 / ||(3, -3, -3)||

Vamos calcular o módulo de ||(3, -3, -3)||

||(3, -3, -3)|| = √(3² + (-3)² + (-3)²) ⇒
||(3, -3, -3)|| = √(9 + 9 + 9) = √27 = 3√3

Logo, k será

| k | = 5 / ||(3, -3, -3)|| = 5 / 3√3
k₁ = 5/3√3 e k₂=-5/3√3

Portanto temos dois vetores ortogonais a "u" e "v" de módulo cinco

k₁(3, -3, -3) = (5/3√3)*(3, -3, -3) = (5/√3, -5/√3, -5/√3)
ou
k₂(3, -3, -3) = (-5/3√3)*(3, -3, -3) = (-5/√3, 5/√3, 5/√3)

Para módulo unitário, a lógica é a mesma e teremos

(1/√3, -1/√3, -1/√3) ou (-1/√3, 1/√3, 1/√3)