Question

Prove que a soma de dois números pares é igual a um número par

Answer 1

Resposta:

Eles sempre são pares

Explicação passo-a-passo:

2a + 2b = 2 ( a + b )

os números pares sempre são multiplos de dois

Answer 2

✅ Tendo finalizado a demonstração, concluímos que a soma de quaisquer dois números inteiros pares resultará sempre em um número:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Par\:\:\:}}\end{gathered} }$

Como não foi definido o conjunto universo da questão, vou utilizar como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, ou seja:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cup = \mathbb{Z}\end{gathered}$

Partindo da premissa que todo número inteiro par "p", pode ser escrito na forma:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}p = 2k,\:\:\:com\:k\in\mathbb{Z} \end{gathered}$

Definindo dois números inteiros , tais que:

                    $\Large\begin{cases}p_{1} = 2k_{1}\\p_{2} = 2k_{2} \end{cases}$

Realizando a adição entre ambos os números, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} p_{1} + p_{2} = 2k_{1} + 2k_{2}\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2(k_{1} + k_{2}) \end{gathered}$

A partir desta soma chegamos à seguinte equação:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}p_{1} + p_{2} = \underbrace{2(k_{1} + k_{2})}_{\bf Par} \end{gathered} }$

Observe que o segundo membro da equação "II" representa um número par. Pois, o dobro de qualquer número inteiro é sempre um número par.

De fato, temos:

• Se os valores de "k" são iguais:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}k_{1} = k_{2} \end{gathered}$

         Se:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}k_{1} = k_{2} = 0 \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_{1} + p_{2} = 2\cdot0 + 2\cdot0 \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 0 + 0 \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:p_{1} + p_{2} = 0 = par \end{gathered}$

         

          Se:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}k_{1} = k_{2} = 1 \end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_{1} + p_{2} = 2\cdot1 + 2\cdot1 \end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2 + 2 \end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 4 \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:p_{1} + p_{2} = 4 = par \end{gathered}$

• Se os valores de "k" são diferentes, temos:

         $\Large\begin{cases}k_{1} = 2\\k_{2} = 3 \end{cases}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_{1} + p_{2} = 2\cdot2 + 2\cdot3 \end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 4 + 6 \end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 10 \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:p_{1} + p_{2} = 10 = par \end{gathered}$

         $\Large\begin{cases}k_{1} = -3\\k_{2} = 6 \end{cases}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_{1} + p_{2} = 2\cdot(-3) + 2\cdot6 \end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= -6 + 12 \end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 6 \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:p_{1} + p_{2} = 6 = par \end{gathered}$

✅ Portanto, a soma de dois números pares sempre resultará em um número:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}Par \end{gathered}$

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