Question

Mostre que todos o intervalos abertos (limitados e não degenerados) da Reta Real são equipolentes. O que isso significa?

Answer 1

Questão complicada hein!

Você deve mostrar que esses intervalos abertos são equipolentes (equivalentes). Mas para isso você tem que entender o que são intervalos limitados e intervalos não degenerados.

Intervalos abertos limitados

É um conjunto que satisfaz uma condição da forma α < x <β. Podemos representar por { x ∈ R | α < x < β }. Note que o intervalo tem limite inferior α e limite superior β, porém α e β  não pertencem ao conjunto dos possíveis valores que x pode assumir. Então, (α,β) indica que o intervalo é limitado, mas que α e β não são pontos interiores do conjunto dos valores que x pode assumir.

Intervalos não degenerados.

Primeiro vamos entender o que é um intervalo degenerado. Quando temos a = b, o intervalo reduz-se a um único elemento. Então [a,b] pode ser escrito como [a,a] = {a} ou [b,b] = {b}. Agora, pense... Se (a,b) é um intervalo e quisermos um elemento desse conjunto, como obter esse elemento se (a,b) for degenerado, ou seja, a=b. A resposta é ∅. Por isso o conjunto limitado aberto e não degenerado.

Demonstração:

Infelizmente não sei como demonstrar isso. Na verdade, tenho uma ideia de como fazer, mas estou meio enferrujado em Espaços Métricos. Acho que seria você mostrar que esses conjuntos têm mesma cardinalidades. Se eles são abertos, então são infinitos. Use o teorema de Cantor, pegando um conjunto arbitrário e um conjunto com dois elementos, (0,1) por exemplo.


Espero que tenha ajudado de algum modo. Este é o tipo de pergunta que gosto de responder, mesmo quando eu possa não saber.