Question

É dado um quadrado ABCD de lado oito. O raio da
circunferência que contém os vértices A e B e é
tangente ao lado CD é

Answer 1

Piterpedrinho, por gentileza acompanhe o raciocínio na figura do anexo:

Conforme o enunciado, a circunferência passa pelos pontos A e B e tangencia o lado CD do quadrado, no ponto M (que é o ponto médio do lado CD).

Assim, o ângulo AOB é um ângulo central e o ângulo AMB é um ângulo inscrito na circunferência. Como o ângulo central mede o dobro do ângulo inscrito, chamamos ao ângulo inscrito de α e ao ângulo central de 2α.

Do centro da circunferência traçamos uma perpendicular ao lado AB e obtivemos o ponto N, obtendo o triângulo retângulo ONB. Neste triângulo, OB é o raio da circunferência, cuja medida é a resposta do problema.

Neste triângulo ONB nós conhecemos:

- o cateto oposto ao ângulo NOB:

NB = AB ÷ 2 
NB = 8 ÷ 2
NB = 4

- o ângulo NOB = α (pois é a metade do ângulo central)

Então, se aplicarmos a função trigonométrica seno neste triângulo, teremos:

seno = cateto oposto ÷ hipotenusa

sen α = 4 ÷ OB [1]

Então, precisamos conhecer o ângulo α para podermos obter o valor da hipotenusa, que é o raio OB da circunferência.

Para isto, vamos analisar a parte de baixo do quadrado, onde temos o ângulo inscrito AMB, que é ângulo α que desejamos calcular.

Se somarmos os ângulos β e α, teremos:

β + α + β = 180º [2]

O ângulo β pode ser calculado, pois:

tangente β = cateto oposto ÷ cateto adjacente

tg β = BC ÷ MC

tg β = 8 ÷ 4

tg β = 2

β = 63,43º

Então, podemos calcular α, substituindo o valor dele em [2]:

63,43º + α + 63,43º = 180º

α = 180º - 63,43º - 63,43º

α = 53,14º

Agora, então, podemos obter o valor da hipotenusa do triângulo NOB, que é o raio da circunferência, substituindo o valor de α em [1]:

sen 53,14º = NB ÷ OB

sen 53,14º = 4 ÷ OB

OB = 4 ÷ sen 53,14º

OB = 4 ÷ 0,8

OB = 5 (raio da circunferência)

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