Question

A equação da reta tangente à curva y=x3-2x2-3x+4 no ponto de abcissa 2 é:

Answer 1

Olá

A equação da reta tangente pode ser calculada a partir da seguinte fórmula

$\mathsf {y-y(x_0)=y'(x_0)}(x-x_0)$


$\mathsf{y=x^3-2x^2-3x+4}\\\\\mathsf{x_0=2}~~~~ ~~~~~~~ ~~\longleftarrow \text{Dada pelo enunciado}$

Primeiramente, vamos calcular o $\mathsf{y(x_0)}$

$\mathsf {y(x_0)=x^3-2x^2-3x+4}\\\\\mathsf {y(2)=(2)^3-2\cdot(2)^2-3\cdot(2)+4}\\\\\mathsf {y(2)=8-8-6+4}\\\\\boxed{\mathsf {y(2)=-2}}$


Agora vamos encontrar a derivada de y

$\mathsf {y=x^3-2x^2-3x+4}\\\\\mathsf {y'=3x^{3-1}-2\cdot2x^{2-1}-3x^{1-1}+0}\\\\\boxed{\mathsf {y'=3x^2-4x-3}}$


Agora vamos encontrar y'(x0)

$\mathsf {y'(x_0)=3x^2-4x-3}\\\\\mathsf {y'(2)=3\cdot(2)^2-4\cdot(2)-3}\\\\\mathsf {y'(2)=12-8-3}\\\\\boxed{\mathsf {y'(2)=1}}$


Já encontramos todas as informações necessárias, então, vamos substituir na fórmula

$\mathsf {y-y(x_0)=y'(x_0)}(x-x_0)\\\\\mathsf{y-(-2)=1\cdot(x-2)}\\\\\mathsf{y+2=x-2}\\\\\mathsf{y=x-2-2}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{y=x-4}}}~~~~ ~~~~ ~\longleftarrow \text{Equac\~ao da reta tangente a curva dada}$