Question

Adição telescópica
Efetuar:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 98 x 99 + 99 x 100
Me expliquem, por favor, é de suma importância!!

Answer 1

Efetuar a soma:

$\mathsf{S=1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\ldots+98\cdot 99+99\cdot 100}\\\\ \mathsf{S=\displaystyle\sum_{k=1}^{99} k\cdot (k+1)}\\\\\\ \mathsf{S=\displaystyle\sum_{k=1}^{99} (k^2+k)}$

Com o objetivo de fazer aparecer a soma telescópica, faremos algumas manipulações.

Divida e multiplique o termo do somatório por 3:

$\mathsf{S=\displaystyle\sum_{k=1}^{99} \frac{1}{3}\cdot 3\cdot(k^2+k)}\\\\\\ \mathsf{S=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{99} (3k^2+3k)}$

Some e subtraia 1 ao somando:

$\mathsf{S=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{99} (3k^2+3k+1-1)}$

Sabendo que, pela expansão do cubo de uma soma,

$\mathsf{k^3+3k^2+3k+1=(k+1)^3}\\\\ \mathsf{3k^2+3k+1=(k+1)^3-k^3}$

Dessa forma, a soma S fica

$\mathsf{S=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{99} \big[(k+1)^3-k^3-1\big]}$

Separando os somatórios,

$\mathsf{S=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{99} \big[(k+1)^3-k^3\big]-\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{99} 1}$

O primeiro somatório acima é uma soma telescópica, pois apresenta a soma da diferença entre termos consecutivos de uma sequência. Como nesta haverá vários cancelamentos de termos intermediários opostos, basta avaliar o que sobra da primeira e da última parcela do somatório (lei telescópica). Já o outro é apenas o somatório de uma constante.

Sendo assim, a expressão fica

$\mathsf{S=\dfrac{1}{3}\cdot \big[(99+1)^3-1^3\big]-\dfrac{1}{3}\cdot (99-1+1)}\\\\\\ \mathsf{S=\dfrac{1}{3}\cdot \big[100^3-1^3\big]-\dfrac{1}{3}\cdot 99}\\\\\\ \mathsf{S=\dfrac{1}{3}\cdot \big[1000000-1\big]-\dfrac{99}{3}}\\\\\\ \mathsf{S=\dfrac{999999}{3}-\dfrac{99}{3}}\\\\\\ \mathsf{S=333333-33}$

$\mathsf{S=333300}$ <----- esta é a resposta.

Bons estudos! :-)