Question

Um automóvel percorre a primeira metade de um trecho retilíneo de extensão total 400m com velocidade média de 120 km/h. Para que a velocidade média, em todo trecho, seja de 80 km/h, qual a velocidade média na segunda metade do trecho?

Answer 1

A distância percorrida em cada metade do trecho total é

     d = 200 m = 0,200 km


de modo que a distância total é

     2d = 400 m = 0,400 km.


1ª metade do trecho:

•  velocidade média:  Vm₁ = 120 km/h;

•  deslocamento:  d = 0,200 km;

•  tempo de duração do percurso:  Δt₁.


Pela fórmula da velocidade média, para a 1ª metade do trecho, temos
 
                      d
     Vm₁  =  ———
                     Δt₁

                    d
     Δt₁  =  ———
                  Vm₁


Substituindo os valores fornecidos,

                 0,200 km         × 5
     Δt₁  =  ——————
                  120 km/h         × 5

                    1
     Δt₁  =  ———  h    <——   duração da 1ª metade do percurso.
                  600


2ª metade do trecho:

•  velocidade média:  Vm₂ = x  (esta é a medida que desejamos encontrar);

•  deslocamento:  d = 0,200 km;

•  tempo de duração do percurso:  Δt₂.


Novamente, pela fórmula da velocidade média, para a 2ª metade do trecho, temos
 
                      d
     Vm₂  =  ———
                     Δt₂

                    d
     Δt₂  =  ———
                  Vm₂


Substituindo os valores fornecidos,

                  0,200         × 5
     Δt₂  =  ————
                      x             × 5

                    1
     Δt₂  =  ———   <———   duração da 2ª metade do percurso.
                   5x


Trecho total:

•  velocidade média:  Vm = 80 km/h;

•  deslocamento:  2d = 0,400 km;

•  tempo de duração do percurso:  Δt = Δt₁ + Δt₂.


Então, temos que

                    2d
     Vm  =  ———
                    Δt

                        2d
     Vm  =  ——————
                   Δt₁ + Δt₂


Substituindo os valores,
 
                           0,400
     80  =  ——————————
                       1              1             
                   ———  +  ———
                     600         5x


Multiplicando o numerador e o denominador do lado direito por  600x  para simplificar,

                 0,400 · 600x
     80  =  ————————
                      x + 120

                    240x
     80  =  —————
                  x + 120

     80 · (x + 120) = 240x

     80x + 9600 = 240x

     240x – 80x = 9600

     160x = 9600
 
               9600
     x  =  ————
                160    

     x = 60 km/h     <———     esta é a resposta.

—————

Outra forma mais direta de resolver o problema seria usando a média harmônica.

A velocidade média no percurso total é a média harmônica das velocidades em cada trecho. Aqui será uma média harmônica simples, pois cada trecho tem o mesmo comprimento:
 
                              2
     Vm  =   ————————    <———    velocidade média no percurso total.
                        1            1
                    ———  +  ——
                      120          x


Então, devemos ter

                            2
     80  =  ————————
                     1             1
                 ———  +  ——
                   120          x


Multiplicando o numerador e o denominador do lado esquerdo por  120x  para simplificar,

                  240x
     80 = —————
                x + 120

e caímos exatamente na equação obtida na forma anterior.

     ⋮

     x = 60 km/h   <———   novamente, esta é a resposta.


A velocidade média do carro na 2ª metade do trecho deve ser de  60 km/h.


Bons estudos! :-)