Question

prove que existem infinitos pontos em um segmento

Answer 1

há infinitos pontos em um segmento pq, este segmento, n acaba mas em alguns problemas, so tem um limite para resolver os cálculos da questão, um exemplo: suponhamos q eu tenha dois conjuntos numericos, os naturais e os inteiros. nesse dois conjuntos, sempre haverá uma quantidade infinita de numeros, mesmo sendo q um fica dentro do outro

Answer 2

Vamos delimitar esse segmento em dois pontos, escolhidos 0 e 1. Note que não nos interessa a unidade.
Suponha que possamos enumerar todos os números desse segmento, cada um relacionado a um único ponto. Assim, teríamos uma listagem:

A1 = 0, a(11)a(12)a(13)...
A2 = 0,a(21)a(22)a(23)...
...
An = 0,a(n1)a(n2)...
Onde cada 'a(ij)' é o algarismo dá linha i na posição j, após a vírgula, já que estamos entre zero e 1

Vamos montar um número B, dado como B = 0,b(1)b(2)b(3)...
E faremos o seguinte:

b(i) = 1, se a(ii) ≠ 1
b (i) = 2, se a(ii) = 1

Fizemos o seguinte: pegaremos o termo a(11) do primeiro número, o termo a(22) do segundo é assim sucessivamente, até chegarmos em An e pegaremos a(nn) . Note que, dada nossa condição para definirmos B, ele será diferente de todos os números listados(que era finito, por hipótese). Logo, entre 0 e 1 existem infinitos números, e como cada número define um ponto no segmento, temos que: Em um segmento existem infinitos pontos.