Question

''Uma torneira enche um tanque em 4 horas,outra torneira idêntica enche outro tanque de igual volume em 10 horas.Estando os tanques vazios e abrindo-se as torneiras simultaneamente,após quanto tempo o que falta para encher o segundo tanque é o quádruplo do que falta para encher o primeiro?''
RESPOSTA: 3H20min

Answer 1

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Temos duas torneiras, cada uma enchendo um tanque, e os tanques que as duas enchem têm o mesmo volume  V  (em litros).  Você verá que para resolver esse problema, não precisamos saber exatamente qual é o volume de cada tanque, apenas que ambos têm a mesma capacidade.


•   Torneira  1:

Esta torneira enche o tanque em  4  horas. Sendo  x₁  a vazão da  1ª  torneira em litros por hora, temos que

                       volume
     vazão  =  —————
                        tempo

               V
     x₁ =  ——          (i)
               4


•   Torneira  2:

Esta torneira enche o tanque em  10  horas. Sendo  x₂  a vazão da  2ª torneira  em litros por hora, temos que

                       volume
     vazão  =  —————
                        tempo

                 V
     x₂ =  ———          (ii)
                10

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Agora assuma que os dois tanques estão inicialmente vazios, e que as duas torneiras ao serem abertas encham cada tanque com vazões  x₁  e  x₂  respectivamente.


•   Torneira  1:

Ao se passar  t  horas após abrir a  1ª  torneira,  o volume de água presente no  1º  tanque é

     v₁ = x₁ · t

                V
     v₁  =  ——  ·  t
                4


Logo, o volume que falta para que o  1º  tanque esteja completamente cheio é

     V – v₁

                   V
     = V  –  ——  ·  t          (iii)
                   4


•   Torneira  2:

Ao se passar  t  horas após abrir a  2ª  torneira,  o volume de água presente no  2º  tanque é

     v₂ = x₂ · t

                  V
     v₂  =  ———  ·  t
                 10


Logo, o volume que falta para que o  2º  tanque esteja completamente cheio é

     V – v₂

                    V
     = V  –  ———  ·  t          (iv)
                   10

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Queremos encontrar o instante  t,  de modo que o volume que falta para encher o  2º  tanque seja igual ao quádruplo do volume que falta para encher o  1º  tanque, isto é

     V – v₂ = 4 · (V – v₁)

     $\mathsf{V-\dfrac{V}{10}\cdot t=4\cdot \left(V-\dfrac{V}{4}\cdot t\right)}$


Colocando  V  em evidência dos dois lados e simplificando,
    
     $\mathsf{\diagup\!\!\!\! V\cdot \left(1-\dfrac{1}{10}\cdot t\right)=4\diagup\!\!\!\! V\cdot \left(1-\dfrac{1}{4}\cdot t\right)}\\\\\\ \mathsf{1-\dfrac{1}{10}\cdot t=4\cdot \left(1-\dfrac{1}{4}\cdot t\right)}\\\\\\ \mathsf{1-\dfrac{1}{10}\cdot t=4-\dfrac{4}{4}\cdot t}\\\\\\ \mathsf{1-\dfrac{1}{10}\cdot t=4-t}$


Multiplique os dois lados por  10  para simplificar os denominadores das frações:

     $\mathsf{10\cdot \left(1-\dfrac{1}{10}\cdot t \right)=10\cdot (4-t)}\\\\\\ \mathsf{10-\dfrac{10}{10}\cdot t=40-10t}\\\\\\ \mathsf{10-t=40-10t}\\\\ \mathsf{-t+10t=40-10}\\\\ \mathsf{9t=30}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{30}{9}}\begin{array}{l}^{\mathsf{\div 3}}\\^{\mathsf{\div 3}}\end{array}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{10}{3}~h}$


Expressando o tempo na forma de número misto, temos que

     $\mathsf{t=\dfrac{9+1}{3}~h}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{9}{3}~h+\dfrac{1}{3}~h}\\\\\\ \mathsf{t=3~h+\dfrac{1}{3}~h}$


e como  1 h = 60 min,

     $\mathsf{t=3~h+\dfrac{1}{3}\cdot 60~min}\\\\\\ \mathsf{t=3~h+20~min}\\\\\\ \mathsf{t=3~h~20~min}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)