Question

Dada a função $y = \sqrt{1 - x^{2} }$ , encontre a sua SEGUNDA derivada e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA.

Answer 1

Olá

A 4ª alternativa é a correta.

Para derivar essa função temos que utilizar a regra da cadeia.

$y=x^p\\y'=p\cdot x^{p-1}\cdot x'$

Em outras palavras, temos que derivar o expoente, repetir a função subtraindo 1 do expoente, e em seguida multiplicar pela derivada dela.

$\displaystyle \mathsf{y= \sqrt{1-x^2} }\\\\\text{Para ficar mais facil a visualizacao, vamos transformar a raiz em}\\\text{expoente}\\\\\mathsf{y=(1-x^2)^{ \frac{1}{2} }}\\\\\text{Derivando}\\\\\\\mathsf{y'= \frac{1}{2}\cdot (1-x^2)^{ \frac{1}{2}-1 }}~\cdot~(-2x^{2-1})\\\\\\\mathsf{y'= \frac{1}{2}\cdot (1-x^2)^{ -\frac{1}{2} }}~\cdot~(-2x})\\\\\\\text{Simplifica}\\\\\\\mathsf{y'= \frac{1}{\diagup\!\!\!\!2}\cdot (1-x^2)^{ -\frac{1}{2} }}~\cdot~(-\diagup\!\!\!\!2x})$

$\displaystyle \boxed{\mathsf{y'= -x\cdot (1-x^2)^{ -\frac{1}{2} }}}}~~~~~~~ ~~\longleftarrow ~\text{Esta e a primeira derivada}$


Agora, para encontrar a segunda derivada, basta derivar a primeira derivada que acabamos de encontrar...

Temos também que utilizar a regra do produto, dada por

$\mathsf{y'=f'\cdot g +f\cdot g'}$


Calculando y''

$\displaystyle\mathsf{y'= -x\cdot (1-x^2)^{ -\frac{1}{2} }}}}\\\\\\\mathsf{y''= -1\cdot (1-x^2)^{ -\frac{1}{2} }~+~(-x\cdot(- \frac{1}{2} \cdot (1-x^2)^{- \frac{1}{2} -1}\cdot (-2x^{2-1})))}}}\\\\\\\text{Simplifica}\\\\\\\mathsf{y''= -\cdot (1-x^2)^{ -\frac{1}{2} }~+~(-x\cdot(- \frac{1}{\diagup\!\!\!\!2} \cdot (1-x^2)^{- \frac{3}{2}}\cdot (-\diagup\!\!\!\!2x})))}}}\\\\\\\mathsf{y''=-(1-x^2)^{- \frac{1}{2} }~+~(-x\cdot(x\cdot(1-x^2)^{- \frac{3}{2} }))}$

$\displaystyle \mathsf{y''=-(1-x^2)^{- \frac{1}{2} }~-~x^2\cdot (1-x^2)^{- \frac{3}{2} }}\\\\\\\text{Para tirar o negativo do expoente, basta passa-lo para o denominador}\\\text{com a regrinha}\\\\\mathsf{x^{-p}= \frac{1}{x^p} }\\\\\\y''=- \frac{1}{(1-x^2)^ \frac{1}{2} } ~-~ \frac{x^2}{(1-x^2)^ \frac{3}{2} } \\\\\\\text{E por ultimo, volta para forma de raiz}\\\\\mathsf{ x^ \frac{m}{n} =\sqrt[n]{x^m}}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{y''= -\frac{1}{ \sqrt{(1-x^2)}} - \frac{x^2}{ \sqrt{(1-x^2)^3} } }}}$


Qualquer dúvida deixe nos comentários.

Answer 2

Inicialmente, vamos encontrar a primeira derivada:

$y=\sqrt{1-x^2}\\\\ y=(1-x^2)^{\frac 1 2}\\\\ y'=\dfrac{1}{2}(1-x^2)^{\frac 1 2-1}\cdot(-2x)\\\\ y'=-x(1-x^2)^{-\frac 1 2}$

Agora, calculando a segunda derivada:

$y'=-x(1-x^2)^{-\frac 1 2}\\\\ y''=[-x]'\cdot(1-x^2)^{-\frac 1 2}+(-x)\cdot[(1-x^2)^{-\frac 1 2}]'\\\\ y''=(-1)\cdot(1-x^2)^{-\frac 1 2}-x\cdot[-\dfrac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac 1 2-1}\cdot(-2x)]\\\\ y''=-(1-x^2)^{-\frac 1 2}-x^2(1-x^2)^{-\frac 3 2}\\\\ \boxed{y''=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{x^2}{\sqrt{(1-x^2)^3}}}\Longrightarrow\text{Letra }\bold{D.}$