Question

dados os pontos A(3,m-1,-4) e B(8,2m-1,m)determinar m de modo que AB=raiz35

Answer 1

Olá

A = (3,m-1,-4)
B = (8,2m-1,m)

AB = B-A 
AB = (8-3, 2m-1-m+1, m+4)
AB = (5, m, m+4)

Agora temos que calcular o módulo de AB e igualar a √35, já que esse é o valor que ele deve ter, conforme dado no enunciado.

$\mathsf{AB = (5, m, m+4)}\\\\\mathsf{|AB| = \sqrt{(5)^2+( m)^2+( m+4)^2}= \sqrt{35} }\\\\\mathsf{ \sqrt{25+m^2+m^2+8m+16} = \sqrt{35} }\\\\\mathsf{ \sqrt{2m^2+8m+41} = \sqrt{35} }\\\\\text{Eleva os dois lados ao quadrado para retirar a raiz}\\\\(\mathsf{ \sqrt{2m^2+8m+41})^2 = (\sqrt{35})^2 }\\\\\mathsf{ 2m^2+8m+41 = 35 }\\\\\text{Iguala a zero}\\\\\mathsf{2m^2+8m+41-35=0}\\\\\mathsf{2m^2+8m+6=0}\\\\\\\text{Temos que resolver essa equacao do segundo grau}$

$\Delta =8^2-4\cdot 2\cdot 6\\\Delta=64-48\\\Delta=16\\\\\displaystyle X= \frac{-8\pm 4}{4} \\\\\boxed{X_1= -1}~~~~~ ~~~~ ~\boxed{X_2=-3}$


As raízes que encontramos são a resposta da pergunta... Para confirmar, vamos calcular novamente o módulo de AB, substituindo o valor de 'm' que encontramos, e veremos se resultará em √35

Primeiro testaremos com m=-1

AB = (5, m, m+4)
AB = (5, -1, -1+4)
AB = (5, -1, 3)

$\mathsf{|AB|= \sqrt{(5)^2+(-1)^2+(3)^2} }\\\\\mathsf{|AB|= \sqrt{25+1+9} }\\\\\boxed{\mathsf{|AB|= \sqrt{35} }}~\checkmark$


Agora vamos testar com m=-3


AB = (5, -3, -3+4)
AB = (5, -3, -3+4)
AB = (5, -3, 1)

$\mathsf{|AB|= \sqrt{(5)^2+(-3)^2+(1)^2} }\\\\\mathsf{|AB|= \sqrt{25+9+1} }\\\\\boxed{\mathsf{|AB|= \sqrt{35} }}~\checkmark$


Então para que |AB| = √35 , m tem de ser igual a -1 ou igual a -3

$\boxed{\mathsf{m=-1}}~~~ ~~~~~~ou~~~~~~~~~~~\boxed{\mathsf{m=-3}}$