Question

Oi gente! Alguém pode me ajudar?

1. A equação de demanda e de custo de um produto estão representadas respectivamente por e , obtenha:
a) A correspondente função receita;

Essa letra eu coloquei a função: Rt= 20x - x². Está certo?

b) A quantidade demandada que maximize a receita;
c) A receita máxima;
d) A correspondente função lucro;

Essa eu coloquei: Lt= -x² + 8x - 17. Está certa?

e) A quantidade demandada que maximize o lucro;
f) O lucro máximo;
g) Obtenha os pontos de equilíbrio entre a receita e o custo.

Agora preciso de ajudar na resolução das demais.

=)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anacecília, que a resolução é simples (embora um pouco longa, pois são muitas questões pra responder neste espaço)..

Tem-se que a equação demanda e custos é dada, respectivamente, pelas seguintes funções;

P(x) = 20-x e C(x) = 2x + 17.

Veja que a equação demanda sendo dada por P(x) = 20-x, ela está, na verdade explicitando por qual o preço do produto "x" os consumidores estariam dispostos a pagar. Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

a) Note que a função receita [R(x)] é dada pela quantidade "x" vezes o preço pelo qual os consumidores estariam dispostos a pagar por cada unidade do produto, que, no caso, é: P(x) = 20-x.
Assim, a função receita será esta: R(x) = x*P(x) ----- substituindo-se P(x) por sua representação, teremos: R(x) = x*(20-x) --->R(x) = 20x - x² ---- ou::
R(x) = - x² + 20x  <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) Qual a quantidade demandada (x) que maximiza a receita?
Veja: para isso, basta que encontremos o valor do "x" do vértice da parábola (xv)  da função receita [R(x) = - x² + 20x].
A fórmula para encontrarmos o "x" do vértice (xv) é dado por:

xv = -b/2a ------ como a função receita é R(x) = - x²+20x, então o coeficiente  "b" será igual a "20" e o coeficiente "a" será igual a "-1". Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

xv = -20/2*(-1)
xv = -20/-2 ------- como, na divisão, menos com menos dá mais, então temos:
xv = 20/2
xv = 10 unidades <--- Esta é a resposta para o item "b".

c) Qual a receita máxima?
Note que há duas formas de encontrar a receita máxima. Uma delas será pelo "y" do vértice da parábola (yv), cuja fórmula é esta:

yv = - (b² - 4ac)/4a ----- substituindo-se as letras indicadas pelos devidos coeficientes da função receita (que já vimos: a = - 1;  b = 20; e c = 0, pois não há o coeficiente do termo independente. Por isso, o consideramos igual a zero), teremos: yv = - (20² - 4*(-1)*0)/4*(-1)
yv = - (400 + 0)/-4
yv = - (400)/-4 --- ou apenas:
yv = -400/-4 ----- como, na divisão, menos com menos dá mais, teremos:
yv = 400/4
yv = 100 <--- Esta é a resposta para o item "c".

O outro método de encontrar o valor da receita máxima, seria você ir na função receita [R(x) = - x² + 20x] e substituir o "x" por "xv" (que é o "x" do vértice). Assim, fazendo essa substituição na função receita, teremos:

R(10) = -(10²) + 20*10 ---> R(10) = -(100) + 200 --- ou apenas:
R(10) = -100 + 200 ---> R(10) = 100 <--- Veja que o resultado é o mesmo. 
 
d) Qual é a representação da função lucro?
Veja que a função lucro [L(x)] é dada pela função receita [R(x)] menos a função custo [C(x)]. Assim, teremos que:

L(x) = R(x) - C(x) ----- substituindo-se R(x) e C(x) por suas representações, teremos: L(x) = - x² + 20x - (2x + 17) ---- retirando-se os parênteses, teremos:
L(x) = - x² + 20x - 2x - 17 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
L(x) = - x² + 18x - 17 <--- Esta é a resposta para o item "d".

e) Qual a quantidade demandada que maximiza o lucro?
Veja: basta você, a exemplo do que fizemos com a função receita, encontrar qual é o "x" do vértice da função lucro [L(x) = -x²+18x - 17].
Fazendo isso, teremos: xv = -b/2a ----- fazendo as devidas substituições (veja que o termo "b" da função lucro é igual a "18" e o termo "a" é igual a "-1"). Assim:

xv = -18/2*(-1)
xv = -18/-2 ---- ou apenas:
xv = 18/2
xv = 9 unidades <-- Esta é a resposta para o item "e".   

f) Qual é o lucro máximo?
Veja que você poderá fazer por um dos métodos já vistos antes.
Vamos fazer apenas a substituição de "x" pelo valor encontrado para o "xv" (9 unidades) na função lucro [L(x) = - x² + 18x - 17]. Assim, fazendo a devida substituição, teremos:

L(9) = -(9²) + 18*9 - 17
L(9) = - 81 + 162 - 17
L(9) = 64 <--- Esta é a resposta para o item "f".

g) Obtenha o ponto de equilíbrio entre receita e custo.

O ponto de equilíbrio entre receita e custo é quando a receita é igual ao custo, que é o que já vimos, que dá a função lucro. Ou seja, neste momento (quando a receita é igual ao custo) não não há nem lucro nem prejuízo. Ou seja, será quanto tivermos: R(x) = C(x) ------ substituindo-se cada função por suas devidas representações, teremos:
- x² + 20x = 2x + 17  ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
- x² + 20x - 2x - 17 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
- x² + 18x - 17 = 0 ---- note: quem faz uma função ser igual a zero são as suas raízes. Então vamos encontrar quais são as raízes da função acima. Aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = 1 e x'' = 17

Ou seja, quando forem produzidas e vendidas "1" ou "17" unidades do produto "x", teremos equilíbrio entre receitas e custos, pois ambas as quantidades levarão a um valor igual tanto na função receita como na função custo..
Note: se substituirmos "x" por "1", na função receita e na função custo, encontraremos um valor igual a R$ 19,00. E se substituirmos o "x" por "17" na função receita e função custo, iremos encontrar um valor de R$ 51,00.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.