Question

A soma das soluções da equação cos(2x) - cos(x)=0, com x pertence a [0, 2π), é igual a:a)5π\3b)2πc)7π\3d)πe)8π\3

Answer 1

cos(2x) - cos(x) = 0
cos²(x) - sen²(x) - cos(x) = 0
cos²(x) - (1 - cos²(x)) - cos(x) = 0
cos²(x) - 1 + cos²(x) - cos(x) = 0
2cos²(x) - cos(x) - 1 = 0

Fazendo y = cos(x) temos

2y² - y - 1 = 0

resolvendo por Bhaskara temos que:

y' = 1 ou y'' = -1/2

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cos(x) = y'
cos(x) = 1
x = 0

ou

cos(x) = -1/2
x = 2π/3    ou     x = 4π/3

Somando as soluções temos

0 + 2π/3 + 4π/3 = 6π/3 = 2π

Alternativa "b"

Answer 2

Alternativa B: a soma das soluções é 2π.

Inicialmente, temos a seguinte expressão:

$cos(2x)-cos(x)=0$

Como temos o cosseno de dois valores diferentes, não podemos trabalhar com eles diretamente. Contudo, podemos utilizar outra relação trigonométrica e substituir nesta equação. Nesse caso, temos:

$cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)\rightarrow cos^2(x)-sen^2(x)-cos(x)=0\\ \\ sen^2(x)=1-cos^2(x)\rightarrow cos^2(x)-[1-cos^2(x)]-cos(x)=0\\ \\ \boxed{2cos^2(x)-cos(x)-1=0}$

Veja que temos uma equação do segundo grau. Desse modo, podemos calcular dois valores para o cosseno de X. Essas raízes são:

$cos(x)=1\\ \\ cos(x)=-\frac{1}{2}$

Com esses valores de cosseno, obtemos os seguintes ângulos em radianos:

$cos(x)=1\rightarrow x=0\\ \\ \\ cos(x)=-\frac{1}{2}\rightarrow x=\frac{2}{3}\pi \ ou \ x=\frac{4}{3}\pi$

Por fim, o somatório das raízes será:

$0+\frac{2}{3}\pi +\frac{4}{3}\pi=2\pi$

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