Question

obtenha, a posição relativa entre as retas r e s: r: {x = t+2 e y = t-2 s: 2x-y-4=0

Answer 1

Pede-se a posição relativa entre as retas "r" e "s" abaixo: 

i) A reta "r" está representada pelas paramétricas (está bem estranho, pois tanto o "x" como o "y" têm a mesma representação paramétrica. Mas, como está colocado assim, vamos em frente): 

x = t-2 
y = t-2 

Em x = t-2, vamos isolar "t". Para isso, colocamos o (-2) para o 1º membro, ficando: 

x + 2 = t , ou, invertendo: 

t = x + 2 

Agora vamos lá em y = t-2 e substituímos "t" por "x+2". Assim: 

y = x+2 - 2 
y = x <---- Então esta é a equação reduzida da reta "r". 

ii) A reta "s" já foi dada, que é esta: 

2x - y - 4 = 0 ----- vamos isolar "y". Para isso, ficando: 

- y = - 2x + 4 ----- multiplicando ambos os membros por (-1), temos: 
y = 2x - 4 <--- Esta é a equação reduzida da reta "s". 

Como está sendo pedida a posição relativa entre as duas retas, e considerando que: 

a) os coeficientes angulares das duas retas NÃO são iguais: logo elas não são paralelas, a propósito, veja que o coeficiente angular da reta "r" é igual a "1" e o coeficiente angular da reta "s" é igual a "2". 

b) o produto dos dois coeficientes angulares NÃO dá igual a (-1), pois 1*2 = 2. Logo, elas NÃO são perpendiculares. 

c) Assim, só sobra a hipótese de elas duas serem meras retas concorrentes, ou seja, têm um ponto onde elas duas se encontram (sem serem perpendiculares; a propósito, veja que a condição de duas retas perpendiculares é um caso especial de retas concorrentes).. 
E vamos ver em que ponto elas concorrem. 
Para isso, basta que igualemos as duas retas. 
Assim, como temos que a reta "r" é y = x; e a reta "s" é y = 2x-4, então, igualando as duas, temos: 

x = 2x - 4 ---- passando "2x" para o 1º membro, temos: 
x - 2x = - 4 
- x = - 4 ---- multiplicando ambos os membros por (-1), temos: 
x = 4 <-- Este é o valor de "x" no ponto em que as duas retas concorrem. 

Como, conforme a reta "r", y = x, então "y" também é igual a "4" no ponto em que as duas retas concorrem. 

Assim, a reta "r" e "s" são duas retas meramente concorrentes, no ponto (4; 4). 

Bem, a resposta é a que estamos dando aí em cima, se a questão estiver escrita exatamente como você colocou.