Question

LIM X TENDENDO A 3 DE UM CONJUGADO DE RAÍZES QUADRADADAS QUE É X^2- 2X +6 -X^2+2X -6 / X^2 -4X +3
POR FAVOR AJUDEM É IMPORTANTE !!!!
O ^ SIGNIFICA ELEVADO

Answer 1

$\lim_{x \to 3} \frac{ \sqrt{x^2-2x+6} - \sqrt{x^2+2x-6} }{x^2-4x+3}$

multiplica pelo conjugado do numerador
$\lim_{x \to 3} \frac{( \sqrt{x^2-2x+6} - \sqrt{x^2+2x-6} )}{(x^2-4x+3)} * \frac{ (\sqrt{x^2-2x+6} + \sqrt{x^2+2x-6})}{( \sqrt{x^2-2x+6} + \sqrt{x^2+2x-6})}$

quando vc multiplica pelo conjugado vc encontra uma diferença dos quadrados ja que: (a-b)(a+b)=a²-b²

temos:
$\lim_{x \to 3} \frac{( \sqrt{x^2-2x+6})^2 - (\sqrt{x^2+2x-6} )^2}{(x^2-4x+3)(\sqrt{x^2-2x+6} + \sqrt{x^2+2x-6})}\\\\ \lim_{x \to 3} \frac{(x^2-2x+6) - (x^2+2x-6)}{(x^2-4x+3)(\sqrt{x^2-2x+6} + \sqrt{x^2+2x-6})}\\\\ \lim_{x \to 3} \frac{x^2-2x+6-x^2-2x+6}{(x^2-4x+3)(\sqrt{x^2-2x+6} + \sqrt{x^2+2x-6})}\\\\ \lim_{x \to 3} \frac{-4x+12}{(x^2-4x+3)(\sqrt{x^2-2x+6} + \sqrt{x^2+2x-6})}\\\\ \boxed{\boxed{\lim_{x \to 3} \frac{-4(x-3)}{(x^2-4x+3)(\sqrt{x^2-2x+6} + \sqrt{x^2+2x-6})}}}$

fatorando o denominador
vc pode usar briot ruffini ou usar a relaçao de soma e produto
q eu acho mt mais rapida ...

equação do segundo grau na forma fatorada:
$Ax^2+Bx+C=A(x-r')(x-r'')$

relação de soma e produto das raízes
$\bmatrix{r'+r'' = \frac{-B}{A}\to \text{Soma das raizes} \\\\r'*r'' = \frac{C}{A}\to \text{produto das raizes} \end$

no denominador vc tem x²-4x+3
quando substituiu x por 3 o resultado deu 0...significa que 3 é uma das raízes ou seja r'=3 ...encontrando a outra raíz
$r'*r'' = \frac{C}{A}\\\\ 3*r''= \frac{3}{1} \\\\r''= \frac{3}{3}=1$

escrevendo na forma fatorada
$x^2-4x+3= 1(x-3)(x-1)= (x-3)(x-1)$

reescrevendo o limite:

$\lim_{x \to 3} \frac{-4(x-3)}{(x-3)(x-1)(\sqrt{x^2-2x+6} + \sqrt{x^2+2x-6})}\\\\ \lim_{x \to 3} \frac{-4}{(x-1)(\sqrt{x^2-2x+6} + \sqrt{x^2+2x-6})}\\\\ = \frac{-4}{(3-1))(\sqrt{3^2-2*3+6} + \sqrt{3^2+2*3-6})} \\\\= \frac{-4}{2( \sqrt{9}+ \sqrt{9}) } = \frac{-4}{2*6} = \frac{-1}{3}$