Question

A distancia entre os pontos A (2,1) e B (0,b) é igual a 6. Qual a ordenada de b?

Answer 1

A distância entre dois pontos P(x₁,y₁) e Q(x₂,y₂) é dada por

$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

Sabemos que essa distância é igual a 6 mas desconhecemos o valor de b. Para encontrar esse valor, montamos a equação da distância

$6 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 -b)^2}\\\\ elevando\;\; os\;\; dois\;\; membros\;\; da\;\; igualdade\;\; ao\;\; quadrado\;\;\\\\ 6^2 = \bigg(\sqrt{(2 - 0)^2 + (1 -b)^2}\bigg)^2\\\\ eliminamos\;\;o\;\;radical \\\\ 36 = (2 - 0)^2 + (1 -b)^2$


Agora, basta resolver a equação de 2° grau

$b^2-2b-31=0\\\\ \Delta = b^2-4ac \Rightarrow \Delta = (-2)^2-4\cdot 1(-31) = 128\\\\\\ x = \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ vamos\;\; precisar\;\; fatorar\;\; 128\\\\ 128 = 2^7\\\\ x_1 = \dfrac{-(-2) + \sqrt{128}}{2\cdot1} \\\\ x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{2^7}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2^6\cdot2}}{2} =\\\\ x_1 = \dfrac{2 + 2^3\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2 + 8\sqrt{2}}{2}=\\\\ x_1 = 1 + 4\sqrt{2}$


$\\x_2 = \dfrac{-(-2) - \sqrt{128}}{2\cdot1} \\\\ x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{2^7}}{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2^6\cdot2}}{2} =\\\\ x_2 = \dfrac{2 - 2^3\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2 - 8\sqrt{2}}{2}=\\\\ x_2 = 1 - 4\sqrt{2}$

Portanto,

$b = 1 + 4\sqrt{2}\;\; ou\;\; b = 1 - 4\sqrt{2}$