Question

Dado cos x = -√3/3 e x e 2°Q calcule o valor de
A: tg x
B:cot x

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Eryca, que a resolução é simples.
Dado que cos(x) = - √(3)/3 e considerando que o arco "x" é do 2º quadrante, pede-se o valor de:

a) tan(x)
b) cotg(x).

Bem, agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que, no 2º quadrante o cosseno é negativo e o seno é positivo. Logo, a tan(x) será negativa, pois tan(x) = sen(x)/cos(x).
Nesse caso, vamos encontrar o valor de sen(x) pela primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual tem-se:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se cos(x) por "-√(3)/3", teremos:

sen²(x) + [-√(3)]/3]² = 1 ----- desenvolvendo, teremos:
sen²(x) + 3/9 = 1
sen²(x) = 1 - 3/9 ---- mmc, no 2º membro = 9. Assim, utilizando-o, temos:
sen²(x) = (9*1 - 1*3)/9
sen²(x) = (9-3)/9
sen²(x) = 6/9 ---- simplificando numerador e denominador por "3", teremos:
sen²(x) = 2/3
sen(x) = +-√(2/3) ---- como, no 2º quadrante, o seno é positivo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

sen(x) = √(2/3) ---- note que isto é a mesma coisa que:
sen(x) = √(2)/√(3) --- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por "√(3)". Assim:

sen(x) = √(3)*√(2) / √(3)*√(3) ----- desenvolvendo, teremos:
sen(x) = √(3*2)/√(3*3)
sen(x) = √(6)/√(9) ------ como √(9) = 3, ficaremos com:
sen(x) = √(6)/3 <-- Este é o valor final de sen(x) da sua questão.

ii) Agora vamos encontrar o valor de tan(x). Assim, teremos:

tan(x) = sen(x)/cos(x) ---- substituindo-se sen(x) e cos(x) por seus valores já conhecidos, ficaremos com:

tan(x) = [√(6)/3]/[-√(3)/3] ---- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim, ficaremos com:

tan(x) = [√(6)/3]*[-3/√(3)] ----- efetuando o produto indicado, teremos:
tan(x) = [√(6)*(-3)]/[3*√(3)] ---- como a ordem dos fatores não altera o produto, então vamos reescrever a expressão acima, ficando da seguinte forma:;

tan(x) = [-3*√(6)]/[3*√(3)] ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", ficaremos apenas com:

tan(x) = -√(6) / √(3) ----- como √(6) = √(3*2) = √(3)*√(2), poderemos reescrever assim:

tan(x) = - √(3)*√(2)/√(3) ---- simplificando-se numerador e denominador por "√(3)", ficaremos apenas com:

tan(x) = -√(2)   <--- Esta é a resposta para o item "a".

iii) Agora vamos para o valor de cotg(x) .
Veja que cotg(x) também vai ser negativa, pois cotg(x) tanto poderá ser obtida por: cos(x)/sen(x) ou por 1/tan(x).

Como está mais fácil encontrar por 1/tan(x), então teremos:

cotg(x) = 1/tan(x) ---- substituindo-se tan(x) por seu valor encontrado acima, teremos:

cotg(x) = 1/-√(2) ----- colocando-se o sinal de menos para antes da expressão, iremos ficar da seguinte forma:

cotg(x) = -1/√(2) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por "√(2). Assim:

cotg(x) = -1*√(2) / √(2)*√(2)
cotg(x) = - √(2) / √(2*2)
cotg(x) = - √(2) / √(4) ----- como √(4) = 2, ficaremos com:
cotg(x) = - √(2) / 2 <--- Esta é a resposta para o item "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.