Question

Considere duas funções f e g tais que g(x) = f(x2-3⋅x+2) Sabendo-se que a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 2 é y=3x - 2 ,determine a equação da reta r, tangente ao gráfico de g em x = 0.

Answer 1

equação da reta tangente a h(x) que passa pelo ponto x=a
$\boxed{\boxed{y=h'(x)(x-a)+h(a)}}$
aplicando isso:


reta tangente a g(x) em x=0

$\boxed{\boxed{y_t=g'(0)*(x-0)+g(0)}}\to \text{equacao 1}$

temos:
$g(x)=f(x^2-3x+2)\\g'(x)=f'(x^2-3x+2)*(x^2-3x+2)'\\\\g'(x)=f'(x^2-3x+2)*(2x-3)}}\\\\\\ g'(0)= f'(0^2-3*0+2)*(2*0-3)\\\\\boxed{\boxed{g'(0)=-3f'(2)}}\\\\ g(0)=f(0^2-3*0+2)\\\\\boxed{\boxed{g(0)=f(2)}}$

voltando na equação 1
$y_t=-3f(2)*(x-0)+f(2))\\\\ \boxed{\boxed{{y_t=-3f(2)x+f(2)}}} \to \text{equacao 2}$

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a reta tangente a f(x) em x=2 é y=3x-2
logo:
$f'(2)(x-2)+f(2)=3x-2\\\\f'(2)x -2f'(2)+f(2) = 3x-2\\\\\\ \Bmatrix f'(2)=3\\\\-2f'(2)+f(2)=-2 \end$

desse sistema vc tira que:
f'(2)=3 
 e 
-2*3+f(2)=-2
f(2)= 4

voltando na equação 2 para encontrar a equação da reta
$y_t=-3f(2)x+f(2)\\\\y_t=-3*(3)x + 4\\\\\boxed{\boxed{y_t=-9x+4}}$