Question

Um
jovem encontra­se a certa distância de uma rocha que deseja escalar. Para
estimar a altura dela, observa seu topo a um ângulo de 30° com relação ao plano
do solo. Movimenta­se em direção à rocha, aproximando­se 90 m mais. Neste
ponto, observa seu cume novamente, dessa vez, a um ângulo de 60°.

A altura da rocha é ?

Answer 1

1 caso
desenhe um triangulo retangulo de base x...e altura H
sabendo que $\boxed{tg(\theta)= \frac{Cateto.Oposto}{Cateto.Adjascente} }$

neste caso teremos
$\boxed{tg(30)= \frac{H}{x} }$.

a tangente de 30 é $\frac{ \sqrt{3} }{3}$

$\boxed{ \frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{H}{x} }$
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2° caso...após se aproximar 90 metros a distancia dele até a rocha ficou (x-90)
então teremos um triangulo retangulo com base (x-90)..altura H...e o angulo de observação é 60 graus
$tg(60)= \frac{H}{(x-90)}$

tangente de 60 é $\sqrt{3}$
$\sqrt{3} = \frac{H}{(x-90)}$
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vou isolar o x na primeira equação.
$\frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{H}{x} \\\\\boxed{ x= \frac{3H}{ \sqrt{3} } }$

esse é o valor de x...substituindo isso por x ..na segunda equação
$\sqrt{3} = \frac{H}{( \frac{3H}{ \sqrt{3} } -90)}\\\\ \sqrt{3} = \frac{H}{ \frac{3H- \sqrt{3} *90}{ \sqrt{3} } } \\\\ \sqrt{3} = \frac{ \sqrt{3}*H }{3H- (\sqrt{3}*90) } \\\\ \sqrt{3}*(3H- (\sqrt{3}*90) = \sqrt{3}*H\\\\\\3H- \sqrt{3}*90 =H\\\\- \sqrt{3}*90=H-3H\\\\- \sqrt{3}*90 =-2H\\\\ \sqrt{3}*90=2H \\\\ \frac{ \sqrt{3}*90}{2}=H \\\\ \boxed{\sqrt{3}*45=H }$