Question

Um triangulo retangulo tem hipotenusa de comprimento h, a medida de um de seus angulos é igual a 30° e o perímetro desse triangulo mede 3( 3 + raiz de 3 ). Nessas condicoes, h é um numero:
 a) múltiplo de 7
 b) divisel por 5
 c) primo

d) par
 e) maior que 8

Answer 1

Sendo $\text{h}$ a medida da hipotenusa, como um dos ângulos agudos mede $30^{\circ}$, o menor lado terá $\dfrac{\text{h}}{2}$.

Depois disso, pelo Teorema de Pitágoras, a medida do outro cateto será $\dfrac{\text{h}\sqrt{3}}{2}$.

Assim, como perímetro é $3\cdot(3+\sqrt{3})$, temos:

$\text{h}+\dfrac{\text{h}}{2}+\dfrac{\text{h}\sqrt{3}}{2}=3\cdot(3+\sqrt{3})$

$2\text{h}+\text{h}+\text{h}\sqrt{3}=6\cdot(3+\sqrt{3})$

$\text{h}\cdot(2+1+\sqrt{3})=6\cdot(3+\sqrt{3})$

Desse modo, $\text{h}=\dfrac{6\cdot(3+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3})}$

$\text{h}=\dfrac{(18+6\sqrt{3})\cdot(3-\sqrt{3})}{3^2-(\sqrt{3})^2}$

$\text{h}=\dfrac{54-18\sqrt{3}+18\sqrt{3}-18}{9-3}$

$\text{h}=\dfrac{36}{6}=6$

Logo, a resposta é d) par