Question

02-Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer.
x+2y-z = 2 
2x - y +z = 3
x + y+ z = 6

Answer 1

E aí brother,

dado o sistema linear e a sua matriz de identificação (Regra de Cramer),

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~coeficientes~~~~~~~~~~~~~~~~~~~termos\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~das~variaveis~~~~~~~~~~~~independentes\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow~~~\downarrow~~~~\downarrow~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow\\ \begin{cases}x+2y-z=2\\ 2x-y+z=3\\ x+y+z=6\end{cases}= \left|\begin{array}{ccc}1&~~2&-1\\2&-1&~~1\\1&~~1&~~1\end{array}\right| ~~~~~~~~~~~~~~~~\left|\begin{array}{ccc}2\\3\\6\end{array}\right|$

podemos seguir 5 passos:

1º, achar o determinante principal, para tanto, use os coeficientes das variáveis, montando assim uma matriz de 3ª ordem e aplicarmos a regra de Sarruz:

$\Delta= \left|\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}1&2\\2&-1\\1&1\end{array}\right~\to~\Delta=-7$

__________

2°, achar o determinante de x, para tanto, use os termos independentes ao invés das variáveis x:

$\Delta_x= \left|\begin{array}{ccc}2&2&-1\\3&-1&1\\6&1&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}2&2\\3&-1\\6&1\end{array}\right~\to~\Delta_x=-7$

__________

3°, achar o determinante de y, para tanto, faça o mesmo aplicado a Dt x:

$\Delta_y= \left|\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&3&1\\1&6&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}1&2\\2&3\\1&6\end{array}\right~\to~\Delta_y=-14$

__________

4°, achar o Dt de z, para tanto, faça o mesmo aplicado a Dt x e Dt y:

$\Delta_z= \left|\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&-1&3\\1&1&6\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}1&2\\2&-1\\1&1\end{array}\right~\to~\Delta_y=-21$

__________

5°, agora devemos achar o valor de cada variável, para tanto, divida cada determinante (x, y e z), pelo determinante principal:

$x= \dfrac{\Delta_x}{\Delta}= \dfrac{-7}{-7}=1\\\\\\ y= \dfrac{\Delta_y}{\Delta}= \dfrac{-14}{-7}=2~~~~~.\\\\\\ z= \dfrac{\Delta_z}{\Delta}= \dfrac{-21}{-7}=3$

Ponto, agora só escrever a terna que satisfaz o sistema acima:

$\LARGE\boxed{\boxed{\boxed{S_{x,y,z}=\{(1,~2,~3)\}}}}.\\.$

Tenha ótimos estudos! FLWW

Answer 2

• Temos três equações:

x + 2y - z = 2

2x - y + z = 3

x + y + z = 6

Resolução por Regra de Cramer:

Vamos seguir o algoritmo para obter o resultado.

• Montar uma matriz com os coeficientes que multiplicam as incógnitas:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{array}\right]$

Vamos calcular, por Sarrus, o determinante (D) dessa matriz.

1    2   -1    1    2

2   -1    1    2   -1

1    1    1     1    1

Multiplicando as diagonais:

$D = +[1.(-1).1 + 2.1.1 + (-1).2.1] - [(-1).(-1).1 + 1.1.1 + 2.2.1]$

$D = +[-1 + 2 - 2] - [1 + 1 + 4]$

$D = +[-1] - [6]$

$D = -1 - 6$

$\Longrightarrow \boxed{D = -7}\Longleftarrow$

(determinante da matriz dos coeficientes)

• Montar uma matriz dos coeficientes, só que substituindo a coluna dos termos que multiplicam o x pelos termos independentes:

$\left[\begin{array}{ccc}2&2&-1\\3&-1&1\\6&1&1\end{array}\right]$

Vamos calcular, por Sarrus, o determinante (Dx) dessa matriz.

2    2   -1   2    2

3   -1    1     3   -1

6   1     1     6  1

$Dx = +[2.(-1).1 + 2.1.6 + (-1).3.1] - [(-1).(-1).6 + 2.1.1 + 2.3.1]$

$Dx = +[-2 + 12 - 3] - [6 + 2 + 6]$

$Dx = +[7] - [14]$

$\Longrightarrow \boxed{Dx = -7}\Longleftarrow$

• Montar uma matriz dos coeficientes, só que substituindo a coluna dos termos que multiplicam o y pelos termos independentes:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&3&1\\1&6&1\end{array}\right]$

1    2   -1     1  2

2   3    1     2   3

1    6    1     1  6

Vamos calcular, por Sarrus, o determinante (Dy) dessa matriz.

$Dy = +[1.3.1 + 2.1.1 +(-1).2.6] - [1.3.(-1) +6.1.1 + 1.2.2]$

$Dy = +[3 + 2 - 12] - [-3+6+4]$

$Dy = -7 - 7$

$\Longrightarrow \boxed{Dy = -14}\Longleftarrow$

• Montar uma matriz dos coeficientes, só que substituindo a coluna dos termos que multiplicam o z pelos termos independentes:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&-1&3\\1&1&6\end{array}\right]$

1    2    2    1    2

2   -1    3    2   -1

1    1     6    1    1

Vamos calcular, por Sarrus, o determinante (Dz) dessa matriz.

$Dz = +[1.(-1).6+2.3.1+2.2.1]-[1.(-1).2+1.3.1+6.2.2]$

$Dz = +[-6 + 6 + 4]-[-2+3+24]$

$Dz = 4 - 25$

$\Longrightarrow \boxed{Dz = -21}\Longleftarrow$

• Cálculo do x:

$\boxed{x = \frac{Dx}{D}}$

$x = \frac{-7}{-7}$

$x = 1$

• Cálculo do y:

$\boxed{y = \frac{Dy}{D}}$

$y = \frac{-14}{-7}$

$y = 2$

• Cálculo do z:

$\boxed{z = \frac{Dz}{D}}$

$z = \frac{-21}{-7}$

$z = 3$

• Resposta:

x = 1

y = 2

z = 3

Espero ter ajudado. :)

• Aprenda mais em:

==> Sistemas Lineares:

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==> Determinante:

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