• Matéria: Matemática
  • Autor: Daanniieely
  • Perguntado 8 anos atrás

Sendo cotg x = 4/3, x que pertence ao 3° quadrante, calcule o calor de cos x - sen x.

Respostas

respondido por: DanJR
5
Olá Daniely, boa noite!

De acordo com o enunciado, \mathbf{\cot x = \frac{4}{3}}.

Mas, sabemos que: \mathbf{\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}}.

Então,

\\ \displaystyle \mathsf{\cot x = \frac{4}{3}} \\\\\\ \mathsf{\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{4}{3}} \\\\\\ \mathsf{\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{4k}{3k}, \qquad \qquad k \in \mathbb{R}}

 Ou seja, \mathbf{\cos x = 4k} e \mathbf{\sin x = 3k}. Desse modo,

\\ \mathbf{\cos x - \sin x =} \\\\ \mathsf{4k - 3k =} \\\\ \boxed{\mathsf{k}}

 Por fim, determinamos "k". Veja:

\\ \boxed{\mathsf{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}} \\\\ \mathsf{(3k)^2 + (4k)^2 = 1} \\\\ \mathsf{9k^2 + 16k^2 = 1} \\\\ \mathsf{25k^2 = 1} \\\\ \mathsf{k^2 = \frac{1}{25}} \\\\ \boxed{\mathsf{k = \pm \frac{1}{5}}}


 Bom! mas, "k" não pode admitir os dois valores encontrados, afinal, x pertence ao terceiro quadrante. Então, \mathbf{k = - \frac{1}{5}}; pois assim, cosseno de x e o seno de x serão menores que zero.

 Logo,

\\ \mathsf{\cos x - \sin x = k} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\cos x - \sin x = - \frac{1}{5}}}} 
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