Question

Determine z, tal que z (vetor)= (1, -2 , z) tenha módulo igual a 3.

Answer 1

Olá


É bem simples, basta calcular o módulo do vetor z normalmente e iguala-lo a 3.

$\vec{z}= \mathsf{(1,-2,z)}\\\\\\|\vec{z}|= \mathsf{\sqrt{(1)^2+(-2)^2+(z)^2}~=~3 }\\\\ \\\mathsf{\sqrt{1+4+z^2}~=~3 }\\\\\mathsf{\sqrt{5+z^2}~=~3 }\\\\\text{Eleva os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz}\\\\\\\mathsf{( \sqrt{5+z^2} )^2=(3)^2}\\\\\mathsf{5+z^2=9}\\\\\mathsf{z^2=9-5}\\\\\mathsf{z^2=4}\\\\\mathsf{z=\pm \sqrt{4} }\\\\\boxed{\mathsf{z=\pm 2}}$



Vamos provar que os valores que encontramos são verdadeiros.

Para z =-2

$\vec{z}=\mathsf{(1,-2,-2)}\\\\|\vec{z}|=\mathsf{ \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(-2)^2} }~=~3\\\\ \mathsf{\sqrt{1+4+4} =3}\\\\\mathsf{ \sqrt{9} =3}\\\\\boxed{\mathsf{ 3 =3}}~~~\checkmark$

Para z = 2

$\vec{z}=\mathsf{(1,-2,2)}\\\\|\vec{z}|=\mathsf{ \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(2)^2} }~=~3\\\\ \mathsf{\sqrt{1+4+4} =3}\\\\\mathsf{ \sqrt{9} =3}\\\\\boxed{\mathsf{ 3 =3}}~~~\checkmark$



Então, para que $\vec{z}$ tenha módulo igual a 3, 

z = -2             ou             z=2