Question

lim f(x) - f(1)/ x-1 onde f(x) = {x+1 se x >= 1 2x se x <1 x tende a 1

Answer 1

$f(x)=\Bmatrix x+1 \;, se \; x \geq 1\\\\2x\;, \; se \;x \ \textless \ 1\end$


$\boxed{\boxed{\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} } }$

para x=1 usamos f(x)=x+1
$f(1)=1+1 = 2$

ficando com: 
$\boxed{\boxed{{\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x-1} }}}$

calculando os limites laterais:
pela direita quando x>1 usamos f(x)=x+1

$\lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{x+1-2}{x-1}\right) =\lim_{x \to 1^{+}} \left(\frac{x-1}{x-1}\right)= \boxed{\boxed{\lim_{x \to 1^{+}} (1) = 1}}$

calculando o limite pela esquerda quando x<1 , usamos f(x)=2x
$\lim_{x \to 1^{-}} \left(\frac{2x-2}{x-1}\right) = \lim_{x \to 1^{-}} \left(\frac{2(x-1)}{x-1}\right) = \boxed{\boxed{\lim_{x \to 1^{-}} \left(2\right) = 2}}$

como os limites laterais são diferentes, o limite não existe

$\boxed{\boxed{ \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\; \neq \; \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \Rightarrow \mathcal{6}\exists \; \; \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} } }$