Question

Para que valor real de X temos $8^{x} - 8^{-x} = 3(1 + 8^{-x} )$ ?

(a) 4
(b) $\frac{1}{2}$
(c) 2
(d) 1
(e) $\frac{-1}{6}$

Answer 1

Primeiramente, note que, $8^{-x}=\dfrac{1}{8^{x}}$. Assim:

$8^{x}-\dfrac{1}{8^{x}}=3+\dfrac{3}{8^{x}}$

Seja $8^{x}=y$, então:

$y-\dfrac{1}{y}=3+\dfrac{3}{y}$

$y^2-1=3y+3$

$y^2-3y-4=0$

$\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25$

$y=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2}=\dfrac{3\pm5}{2}$.

Assim, $y'=\dfrac{3+5}{2}=4$ e $y"=\dfrac{3-5}{2}=-1$.

Logo, $8^{x}=4$ ou $8^{x}=-1$.

Mas, $8^{x}>0$, para qualquer $x$ real, $8^{x}=-1$ não tem solução.

Já $8^{x}=4$ é equivalente a $(2^3)^{x}=2^2~~\Rightarrow~~2^{3x}=2^2$

Assim, $3x=2~~\Rightarrow~~x=\dfrac{2}{3}$.