Question

Para a função:

f ( x ) = ln ( x + rad ( x² + 1 ) )

ln= logaritmo natural
rad (oque está dentro do parenteses está dentro da raiz quadrada

Dúvida:

*Mostre que f ( x ) é uma função ímpar.

*Quero aprender como faz, então por favor, mostre o raciocínio utilizado

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luan, que uma função é considerada ímpar se f(-x) = - f(x).
Observação: se quiser uma função  par, basta mostrar que f(-x) = f(x).

Antes vamos dar três exemplos: um para função ímpar, outro para função par e, finalmente, um terceiro para função que não é par nem ímpar.

i) Uma função do tipo f(x) = 2x será ímpar, pois:

f(-x) = 2*(-x) ----> f(-x) = - 2x ---> Logo, está mostrado que f(-x) = - f(x).

ii) Uma função do tipo f(x) = x² será par, pois:

f(-x) = (-x)² ---> f(-x) = x² ---> Logo, está mostrado que f(-x) = f(x).

iii) Contudo, há funções que não são nem pares nem ímpares. Basta que elas não satisfaçam às condições vistas aí em cima para funções pares e funções ímpares. Por exemplo: a função f(x) = 2x - 1 não é par nem ímpar, pois:

f(-x) = 2*(-x) - 1
f(-x) = - 2x - 1 ----- note: se colocarmos parênteses com o sinal de menos antes, iremos ficar assim:

f(-x) = - (2x+1) <--- Veja: a função nem é par nem é ímpar, pois o que está dentro dos parênteses não é a função f(x), pois a função f(x) = 2x - 1. Se fosse, então a função seria ímpar, pois estaríamos tendo que f(-x) = - f(x). Como isso não ocorreu, então a função f(x) = - 2x - 1 NÃO é par nem ímpar.

iv) Bem, vistos os três exemplos acima, então vamos tentar mostrar se a função abaixo é ímpar ou não:

f(x) = ln [x + √(x²+1)] ----- vamos substituir o "x" por "-x", ficando:

f(-x) = ln [-x + √(-x)²+1)]
f(-x) = ln [-x + √(x²+1)] ---- veja que esta função NÃO é par nem ímpar, pois após substituirmos o "x" por "-x" não encontramos f(-x) = - f(x). A propósito, note que se colocarmos o sinal de menos que está em "-x" para antes da expressão dada, veja como iríamos ficar:

f(-x) = - ln [x - √(x²+1)] <--- Note: o que está dentro dos colchetes não é a função f(x) original. Então é por isso que essa função NÃO é par nem ímpar.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.