Question

Sobre a função f (x)= 2+log x, é correto afirmar que:
a) se x= 1, então f (1)=0
b) f é decrescente
c) se X= 0,01 então...

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Nick, que a resolução é simples.
Pede-se para marcar a opção correta, dada a seguinte equação:

f(x) = 2 + log₁₀ (x) ---- veja: colocamos a base "10" porque sempre que a base é omitida subentende-se que ela seja "10".

Bem, dada a expressão acima, agora vamos a cada opção dada. E, em cada uma, vamos dizer se a sentença é falsa ou verdadeira. Assim teremos:

a) Se x = 1, então f(1) = 0.

Resposta: sentença FALSA.
Veja: para x = 1, então basta irmos na função dada [f(x) = 2+log₁₀ (x)] e substituirmos o "x" por "1". Assim, teremos:

f(1) = 2 + log₁₀ (1) ---- note que o logaritmo de "1" (em qualquer base) sempre será igual a "0". Assim, teremos:

f(1) = 2 + 0
f(1) = 2 <--- Este seria o valor de f(1). Por isso é que esta sentença é FALSA.

b) A função "f" é decrescente.

Resposta: sentença FALSA, pois toda função do tipo da expressão dada nunca é decrescente. Será sempre crescente.
Por isso é que esta sentença é FALSA.

c) Se x = 0,01, então y = 0.

Resposta: sentença VERDADEIRA, pois se temos que f(x) = 2+log₁₀ (x), vamos, primeiro, trocar f(x) por "y", com o que ficaremos: y = 2+log₁₀ (x).
Agora vamos substituir "x" por "0,01". Assim:

y = 2 + log₁₀ (0,01) ----- note que 0,01 = 1/100. Assim, teremos:
y = 2 + log₁₀ (1/100) ----- vamos transformar a divisão em subtração, ficando:
y = 2 + log₁₀ (1) - log₁₀ (100) ---- veja que 100 = 10². Assim:
y = 2 + log₁₀ (1) - log₁₀ (10²) ---- vamos passar o expoente "2" multiplicando:
y = 2 + log₁₀ (1) - 2log₁₀ (10) .

Agora veja:
log₁₀ (1) = 0 (pois todo logaritmo de "1", em qualquer base, sempre é zero)
log₁₀ (10) = 1 (pois sempre que o logaritmando é igual à base, o logaritmo é "1").
Assim, teremos:

y = 2 + 0 - 2*1
y = 2 - 2
y = 0 <--- Veja aí. Então é por isso que esta sentença é VERDADEIRA.

d) f⁻¹(x) = 10ˣ⁺² .

Resposta: sentença FALSA, pois a função inversa de f(x) = 2 + log₁₀ (x) será a que veremos adiante. Antes siga estas instruções para calcular a inversa:

d.i) Troque f(x) por "y". Assim, teremos:

y = 2 + log₁₀ (x)

d.ii) Agora troque "y" por "x" e troque "x" por "y", com o que ficaremos:

x = 2 + log₁₀ (y)

d.iii) Agora procuraremos isolar "y" e o que acharmos já será a função inversa. Assim, para isolar "y" passaremos o "2" para 1º membro, ficando:

x - 2 = log₁₀ (y) ---- vamos apenas inverter, com o que ficaremos:
log₁₀ (y) = x - 2 ---- agora veja: se aplicarmos a definição de logaritmo, teremos isto:

y = 10ˣ⁻² ---- Esta já é a função inversa. Vamos apenas trocar "y" pela representação universal de função inversa. Assim, teremos:

f⁻¹(x) = 10ˣ⁻²  <--- Esta é a função inversa. então é por isso que esta sentença é FALSA. 

e) f(10³) = 1.

Resposta: sentença FALSA, pois se temos que f(x) = 2 + log₁₀ (x), então vamos substituir "x" por "10³". Assim:

f(10³) = 2 + log₁₀ (10³) ---- passando o expoente "3' multiplicando, temos:
f(10³) = 2 + 3log₁₀ (10) ----- como log₁₀ (10) = 1, teremos:
f(10³) = 2 + 3*1
f(10³) = 2 + 3
f(10³) = 5 <---- Esta é a resposta para f(10³). Então é por isso que esta sentença é  FALSA.

Assim, como você viu, a única sentença VERDADEIRA é a da opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.