Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante. Se ela caminhar 1200 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá andar do ponto para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?
Qual a altura do prédio?
Respostas
h = 1200 * tg 60° = 1200 * √3 = 2078,46
Portanto o prédio tem 3600 metros.
Vamos calcular a distância qua a pessoa deve estar do prédio para olhar o topo do prédio sob um ângulo de 30°.
d = 3600 / tg30° = 2078,46 / (√3/3) = 3600
A pesso precisa estar a 3600 metros de distância do prédio para enxergá-lo sob um ângulo de 30°. Como já havia caminhado 1200m, basta caminhar mais 2400m para alcaçar essa distância.
3600 - 1200 = 2400.
Resposta:
Vamos chamar ao ponto de onde esta pessoa poderá enxergar o prédio sob um ângulo de 30º de D.
Assim, teremos um triângulo BCD, no qual:
- O ângulo DBC mede 120º, pois é externo ao ângulo ABC, que mede 60º;
- O ângulo BDC medirá 30º, por imposição do problema;
- Então, o ângulo BCD também medirá 30º, pois a soma dos ângulos internos do triângulo BCD é igual a 180º.
- Como consequência, o triângulo BCD é isósceles (os ângulos da base são iguais) e os lados BC e BD são iguais [1].
- BD é a distância que estamos procurando para solucionar a questão. Como ela é igual a BC, basta então obtermos o valor da distância BC.
- Este valor pode ser obtido no triângulo ABC, pois:
- O triângulo ABC é retângulo, nele conhecemos os três ângulos (A = 90º, B = 60º e C = 30º), além de conhecemos o cateto AB (90 m).
- A hipotenusa deste triângulo pode ser obtida pela função trigonométrica seno (ou cosseno), pois:
sen = cateto oposto ÷ hipotenusa
sen 30º = AB ÷ BC
BC = AB ÷ sen 30º
BC = 90 m ÷ 0,5
BC = 180 m
(Utilizando a função cosseno chegaríamos ao mesmo resultado:
cos = cateto adjacente ÷ hipotenusa
cos 60º = 90 m ÷ BC
BC = 90 m ÷ 0,5
BC = 180 m
Como vimos em [1] que BC = BD,
BD = 180 m
Como a questão pede qual a distância que a pessoa deve andar desde o ponto A, devemos somar à distância BD a distância AB:
AD = AB + BD
AD = 90 m + 180 m
AD = 270 m
R.: A pessoa deve andar a partir de A para B a distância de 270 m para enxergar o prédio sob um ângulo de 30º.
Explicação passo-a-passo: