Question

A solução da equação $y^{ll} -6 y^{l} +9y=0,$ é uma função que atende as condições iniciais:$y(0)=1$ e $y^{l}(0)=-1$. Então a soma das constantes $C_{1}$ e $C_{2}$ desta função é:


a. 5


b. - 5


c. 0


d. - 3


e. 1

Answer 1

Boa noite numero 073841 

y" - 6y' + 9y = 0 

y(x) = c1*e^(3x) + x*c2*e^(3x)

y(0) = c1 = 1

y'(x) = 3c1*e^(3x) + c2*e^(3x) + 3c2*x*e^(3x) 

y'(0) = 3c1 + c2 = -1

3c1 + c2 = -1
c1 = 1

3 + c2 = -1
c2 = -4

c1 + c2 = 1 - 4 = -3 (D) 

Answer 2

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Temos uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear, homogênea e a coeficientes constantes:
 
     y'' – 6y' + 9y = 0         (i)


Resolvendo a equação característica da EDO:
 
     λ² – 6λ + 9 = 0


No lado esquerdo, reescreva  – 6λ  como  – 3λ – 3λ  e fatore:

     λ² – 3λ – 3λ + 9 = 0

     λ · (λ – 3) – 3 · (λ – 3) = 0


Colocando  (λ – 3)  em evidência,

     (λ – 3) · (λ – 3) = 0

     (λ – 3)² = 0

     λ = 3    <———    raiz do polinômio característico.


Como a raiz é única, a base geradora da solução será

     $\mathsf{\left\{e^{\lambda x}, xe^{\lambda x}\right\}}\\\\ \mathsf{\left\{e^{3x}, xe^{3x}\right\}}$


de modo que a solução da EDO homogênea é
 
     $\mathsf{y(x)=C_1\,e^{3x} + C_2\,xe^{3x}\qquad\quad(ii)}$


onde  C₁  e  C₂  são constantes a serem determinadas.

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Para encontrar as constantes  C₁  e  C₂,  aplicamos o valor inicial na função e na sua derivada primeira.


•    y(0) = 1:

     y = 1  quando  x = 0:

Substituindo em  (ii),  temos

     $\mathsf{1=C_1\,e^{3\cdot 0} + C_2\cdot 0e^{3\cdot 0}}\\\\ \mathsf{1=C_1\,e^{0} + C_2\cdot 0}\\\\ \mathsf{1=C_1\cdot 1+0}\\\\ \mathsf{C_1=1}\qquad\quad\checkmark$


•    y'(0) = – 1:
  
Derivando  (ii),  obtemos

     $\mathsf{y'(x)=\left(C_1\,e^{3x} + C_2\,xe^{3x}\right)'}\\\\ \mathsf{y'(x)=C_1\cdot \left(e^{3x}\right)' + C_2\cdot \left(xe^{3x}\right)'}\\\\ \mathsf{y'(x)=C_1\cdot 3e^{3x} + C_2\cdot \left[(x)'\cdot e^{3x}+x\cdot (e^{3x})'\right]}\\\\ \mathsf{y'(x)=C_1\cdot 3e^{3x} + C_2\cdot \left[1\cdot e^{3x}+x\cdot 3e^{3x}\right]}\\\\ \mathsf{y'(x)=3C_1\,e^{3x} + C_2\cdot (1+3x)\,e^{3x}}$


     y' = – 1  quando  x = 0:

Substituindo os valores de  y',  x  e  C₁,  temos

$\mathsf{-1=3\cdot 1\,e^{3\cdot 0}+C_2\cdot (1+3\cdot 0)\,e^{3\cdot 0}}\\\\ \mathsf{-1=3\cdot 1\,e^0+C_2\cdot (1+0)\,e^0}\\\\ \mathsf{-1=3\cdot 1+C_2\cdot 1}\\\\ \mathsf{-1=3+C_2}\\\\ \mathsf{C_2=-1-3}\\\\ \mathsf{C_2=-4\qquad\quad\checkmark}$


Portanto, a soma das constantes  C₁  e  C₂  da solução da EDO é
 
     C₁ + C₂ = 1 + (– 4)

     C₁ + C₂ = – 3    <———    esta é a resposta.


Resposta:  alternativa  d.  – 3.


Bons estudos! :-)