Question

Dada a função Ct=q²+3q+30 e o preço de venda é 20. Qual a quantidade que deve ser vendida para obter lucro máximo?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, BCvicky, que a resolução é simples.
Tem-se que a função custo total é dada por:

C(q) = q² + 3q + 30

É informado que o preço de venda de cada unidade "q" produzida é de R$ 20,00. Então a função receita será dada por:

R(q) = 20q.

É pedida a quantidade (q) que deve ser vendida para obter o lucro máximo.

Note que a função lucro será obtida pela relação receita menos custos. Logo, a função lucro será dada por:

L(q) = R(q) - C(q) ---- substituindo-se R(q) e C(q) por suas representações, teremos:

L(q) = 20q - (q² + 3q + 30) ---- retirando-se os parênteses, teremos:
L(q) = 20q - q² - 3q - 30 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
L(q) = - q² + 17q - 30 <--- Esta é a função lucro.

Agora vamos ao que está sendo pedido, que é encontrar a quantidade (q) máxima que deve ser vendida para obter o lucro máximo.

Veja que a quantidade (q) máxima que deve ser vendida é dada pelo "x" do vértice (xv) da parábola da função lucro [L(q) = -q²+17q-30], cuja fórmula é esta:

xv = -b/2a

Note que os coeficientes da função lucro são estes:

a = - 1 --- (é o coeficiente de q²)
b =  17 --- (é o coeficiente de q)
c = -30 --- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, como já temos os coeficientes da função lucro, então vamos ver qual será o valor do "x" do vértice (xv), que nos dará a quantidade (q) que proporcionará o lucro máximo. Como a fórmula é esta:

xv = -b/2a ---- vamos substituir "b" por "17" e "a' por "-1", com o que ficaremos:
xv = -17/2*(-1)
xv = -17/-2 -- ou apenas:
xv = 17/2 ----- como 17/2 = 8,5 e considerando que não podemos ter uma quantidade "quebrada" de produtos vendidos, então a quantidade que dá o lucro máximo poderá ser arredondada para 9 unidades. Logo, a quantidade que dará o lucro máximo será:

xv = 9 unidades <--- Esta é a resposta. Deverão ser vendidas em torno de 9 unidades para que o lucro seja máximo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.