Question

O total de números de 5 algarismos que possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais em sua composição é

Answer 1

Existem 30951 números que se encaixam nessas condições.

Em cada posição do numeral de cinco algarismos, temos dez algarismos que podem ser utilizadas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Desse modo, sem nenhuma condição (apenas não utilizar o zero no início), o número total de combinações seria:

$9\times 10\times 10\times 10\times 10=90000$

Agora, vamos calcular quantos números de 5 algarismos não possuem dígitos adjacentes repetidos. Veja que, a cada dígito, vamos ter 9 opções para serem colocadas. Logo, temos o seguinte:

$9\times 9\times 9\times 9\times 9=59049$

Por fim, a quantidade de números procurados será a diferença entre os dois valores calculados. Logo:

$90000-59049=30951$

Portanto, existem 30951 números diferentes que podem ser formados dessa maneira.

Answer 2

Resposta:

30951 <= Total pretendido

Explicação passo-a-passo:

.

=> Nota Importante:

É pedido na questão "..O total de números de cinco algarismos que possuem PELO MENOS dois dígitos consecutivos iguais em sua composição é igual a..""

...Isto implica que INTERESSAM todos os números com 2, 3, 4 ou 5 algarismos consecutivos na sua composição!

SUGESTÃO DE RACIOCÍNIO:

1º Calcular TODOS os números de 5 algarismos possíveis de formar

2º Calcular todos os números que NÃO TEM NENHUM algarismo adjacente igual

3º Subtrair a quantidade obtida em (2) á quantidade obtida em (1)

Resolvendo:

1º Calcular TODOS os números de 5 algarismos possíveis de formar

...como o 1º digito (dezenas de milhar) não pode ser o zero temos 9 possibilidade para o 1º digito.

...para os restantes 4 dígitos não temos restrições logo 10 possibilidades para cada um

Assim a quantidade TOTAL (Qt) de números possíveis de formar será dado por:

Q = 9 . 10 . 10 . 10 . 10 = 90000 <= Total de números

2º Calcular todos os números que NÃO TEM NENHUM algarismo adjacente igual

Conforme vimos acima ..o 1º dígito não pode ser zero ..logo temos 9 possibilidades ..vamos começar por fazer um "quadro" para ajudar á compreensão

| 9 |_|_|_|_|

Agora veja que por cada um dos 9 algarismos no 1º dígito temos 9 algarismos que não são iguais e que podem ocupar o 2º dígito ..ficando

| 9 | 9 |_|_|_|

Por cada um dos 9 algarismos no 2º dígito temos 9 algarismos que não são iguais e que podem ocupar o 3º dígito ..embora alguns possam ser iguais ao 1~dígito (mas não são adjacentes ao 3º dígito) ..ficando

| 9 | 9 | 9 |_|_|

seguindo o mesmo raciocínio para os restantes dígitos (4º e 5º) ..ficamos

| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |

Assim a quantidade (Qn) de números que NÃO TEM NENHUM algarismo adjacente igual será dado por:

Qn = 9 . 9 . 9 . 9 . 9 = 59049 <= números sem algarismos adjacentes iguais

3º Subtrair a quantidade obtida em (2) á quantidade obtida em (1)

considerando os números com PELO MENOS 2 algarismos iguais CONSECUTIVOS definidos por Q(2 ≤ x ≤ 5), termos

Q(2 ≤ x ≤ 5) = 90000 - 59049

Q(2 ≤ x ≤ 5) = 30951 <= Total pretendido

Espero ter ajudado