Question

A reta de equação x + y = 10 intercepta os eixos nos pontos A e C, sendo AC a diagonal de um quadrado. Sobre o quadrado, pede-se:

a) as coordenadas dos vértices A e C.
b) a medida do lado.
c) a medida da diagonal AC.
d) as coordenadas do centro.
e) a equação da reta suporte da outra diagonal. f) as coordenadas de outros vértices.
g) as equações das retas suportes dos seus lados.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, infelizmente só me desocupei agora. Mas vamos tentar resolver a sua questão. A resolução é simples, embora um pouco trabalhosa, pois são pedidas muitas informações para que coloquemos neste pequeno espaço para a resposta.

Tem-se a reta de equação x + y = 10 intercepta os eixos cartesianos nos pontos "A" e "C", sendo AC a diagonal de um quadrado. Sobre esse quadrado são pedidas várias informações (aí são dadas várias questões que vamos tentar resolver uma a uma).

a) as coordenadas dos vértices A e C.

Veja: se você traçar os eixos cartesianos e a partir da sua origem [ponto (0; 0)], considerando a reta dada, que é x + y = 10; e se fizer "y" = 0, encontrará x = 10; e se fizer x = 0 encontrará y = 10. Assim, basta marcar 10 unidades no eixo dos "x" e "10" unidades no eixo dos "y" vai encontrar que as coordenadas de A e C serão:

A(10; 0) e C(0; 10) <--- Estas são as coordenadas dos pontos A e C.

b) A medida do lado do quadrado.
Note: se você já tem 10 unidades no eixo dos "x" e 10 unidades no eixo dos "y", então o lado do quadrado medirá 10 u.m. (u.m. = unidades de medida). Ou seja, chamando o lado de "x", então o lado do quadrado medirá:

x = 10 u.m. <--- Esta é a medida do lado do quadrado.

c) a medida da diagonal AC.
Veja: basta que você encontre a distância (d) entre os pontos A(10; 0) e C(0, 10). Assim, encontrando essa distância, teremos:

d² = (10-0)² + (0-10)²
d² = (10)² + (-10)²
d² = 100 + 100
d² = 200
d = +-√(200) ---- veja que 200, quando fatorado é: 200 = 2³.5² = 2².².5² = 2².5².2. Assim, substituindo, teremos:

d = +-√(2².5².2) ---- note: quem estiver ao quadrado sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos;

d = +- 2.5√(2)
d = +- 10√(2) ----- como a medida da diagonal não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 10√(2) u.m. <--- Esta é a medida da diagonal do quadrado.


 d) As coordenadas do centro do centro do quadrado.

Veja: para encontrar as coordenadas do centro, deveremos encontrar qual é o ponto médio do segmento AC. Assim, esse ponto médio do segmento AC, com A(10; 0) e C(0; 10) será:

xm = (10+0)/2 = 10/2 = 5
ym = (0+10)/2 = 10/2 = 5.

Dessa forma, o ponto médio (que será o centro do quadrado), será este:

M(5; 5) <--- Este é o ponto médio do quadrado (que é o encontro das duas diagonais).

 
e) A equação da reta suporte da outra diagonal.
Veja: a outra diagonal será dada pela reta dos quadrantes ímpares dos eixos cartesianos, que é esta:

x = y ----- passando "y" para o 1º membro, teremos;
x - y = 0 <--- Esta é a equação da reta suporte da outra diagonal.

f) as coordenadas de outros vértices.
Note: como já temos dois vértices, que são os pontos A(10; 0) e C(0; 10), então teremos que encontrar os pontos B e D.
Veja que o ponto B será a origem dos eixos cartesianos. Logo, o ponto B será:
B(0; 0); e o ponto D será o ponto que fica oposto ao ponto (0; 0) e que será:
D(10; 10). Assim, resumindo, temos que os outros vértices serão estes:

B(0; 0) e D(10; 10) <-- Estas são as coordenadas dos outros vértices.

g) As equações das retas suportes dos seus lados.
Note que o quadrado, que tem lado igual a 10 u.m., está construído nos eixos cartesianos a partir do ponto B(0; 0), que tem o ponto A(10; 0), o ponto C(0; 10) e o ponto D(10; 10).
Assim, cada reta relativa a cada lado será dada assim:

g.i) Lado BA ---> y = 0 ---- (é o próprio eixo dos "x")
g.ii) Lado BC ---> x = 0 --- (é o próprio eixo dos "y")
g.iii) lado CD ---> y = 10 -- (é uma reta paralela ao eixo dos "x" passando em y=10)
g.iv) lado AD ---> x = 10 -- (é uma reta paralela ao eixo dos "y" passando em x=10).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.