Question

sabe se que x e y são números naturais e que x = 2³ . 3² . 5² e y = 2³ . 3³ . 5

a) encontre o menor número que deve multiplicar y para que o resultado seja divisível por x.

b) encontre o menor número que deve multiplicar x para que o resultado seja divisível por y.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mimoliveira, que a resolução é simples.

Tem-se que:

x = 2³ * 3² * 5² ---- note que este valor vai dar: 8*9*25 = 1.800.
e
y = 2³ * 3³ * 5 ---- note que este valor vai dar: 8*27*5 = 1.080. 

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

a) encontre o menor número que deve multiplicar "y" para que o resultado seja divisível por "x".

Veja que teremos que multiplicar "y" por um certo "k" de modo que o resultado seja divisível por "x". Então teremos isto:

k*y/x = k*(2³*3³*5)/(2³*3²*5²) --- note: basta que façamos o expoente do "5" do numerador ficar igual ao expoente do "5" do denominador. E, para isso, basta que façamos k = 5. Assim:

k*y/x = 5*(2³*3³*5)/(2³*3²*5²)
k*y/x = (2³*3³*5²)/(2³*3²*5²)
k*y/x = (8*27*25)/(8*9*25)
k*y/x = 5.400/1.800
k*y/x = 3 (divisão exata).
Logo, o menor número que deverá multiplicar "y" para que o resultado seja divisível por "x" será o:

número 5 <--- Esta é a resposta para o item "a". Este é o menor número que deveremos multiplicar "y" para que o resultado seja divisível por "x".

b) Encontre o menor número que deve multiplicar "x" para que o resultado seja divisível por "y".
Aqui teremos isto, adotando idêntico raciocínio da questão anterior:  teremos que multiplicar "x" por um certo "k" de modo que o resultado seja divisível por "y". Então teremos isto:

k*x/y = k*(2³*3²*5²)/(2³*3³*5) ---- basta que façamos o expoente do "3" do numerador ficar igual ao expoente do "3" do denominador. Então faremos k = 3. Assim:

k*x/y = 3*(2³*3²*5²)/(2³*3³*5)
k*x/y = (2³*3³*5²)/(2³*3³*5)
k*x/y = (8*27*25)/(8*27*5)
k*x/y = 5.400/1.080
k*x/y = 5 (divisão exata)
Assim, o menor número que deveremos multiplicar "x" para que seja divisível por "y" será o:

número 3 <--- Esta é a resposta para o item "b". Este é o menor número que deveremos multiplicar "x" para que o resultado seja divisível por "y".


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.