Question

Me ajudem!!!!
1- Considere as placas de automóveis formadas por 3 letras e 4 algarismos, como no exemplo:
         BBE 4465
Quantas placas diferentes podemos formar comas letras E, F, G e h, e com os algarismos 5, 6,7, 8 e 9,sem repetir as letras nem os números?
a) 40000
b) 2880
c) 240
d) 32
e) 20

2- Um atleta resolveu correr por 20 dias e a cada dia fez 400 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo que, no final dos 20 dias ele percorreu um total de 116 km. O número de km que ele correu no último dia é:
a) 2
b) 8
c) 7,6
d) 9,6
e) 116

A resposta da primeira é B e a da segunda é D.

Answer 1

1. 

Número de letras que se podem usar: 4 
Estas 4 letras podem tomar 4 posições diferentes sem nunca se repetirem: 

4 x 3 x 2  = 24 hipóteses possíveis 

Número de algarismos disponíveis: 5 . Estes podem ocupar 4 lugares sem nunca se repetirem: 5x4x3x2 = 120 hipóteses. 

Ora o código:

LETRA LETRA LETRA NÚMERO NÚMERO NÚMERO NÚMERO 
4         X   3  X    2      X   5        X   4     X       3     X       2 = 2880 Hipóteses. 

HIPÓTESE B!


2. (Estou a pensar)

x+x+400+x+400x2+x+400x3+x+400x4 ..... x+400x20 = 20x + 76000

Agora você descobre o valor percorrido no primeiro dia através dos 11,6 km=116000 metors 

20x + 76000 = 116000 <=> x = 2000 metros percorridos no primeiro dia 

Answer 2

Olá, Rodrigo !

1) Queremos formar placas com as letras $E$, $F$, $G$ e $H$ e com os algarismos $5,6,7,8$ e $9$ sem repetir as letras nem os números.

Além disso, as placas são formadas por $3$ letras e $4$ algarismos.

Observe que, nesta situação a ordem de escolha das letras como dos números é importante; isso porque a placa $EFG567$ é diferente da placa $EGF567$.

Vamos calcular de quantos modos podemos escolher as letras e após isso, de quantas maneiras podemos escolher os números.

Queremos escolher três letras entre $E,F,G$ e $H$. Para a primeira letra, temos $4$ possibilidades.

Já para a segunda, há apenas $3$ modos de escolha, pois não pode ser igual a primeira.

E, por fim, temos $2$ maneiras de escolher a terceira letra. No total, há 
$4\times3\times2=24$ modos de escolher as letras de uma placa.

Agora vamos fazer o mesmo com os algarismos: queremos escolher quatro algarismos entre $5,6,7,8$ e $9$.

Prosseguindo como antes, temos $5$ modos de escolher o primeiro algarismo, $4$ modos de escolher o segundo, $3$ para o terceiro e apenas $2$ modos para a escolha do quarto algarismo. 

Assim, há $5\times4\times3\times2=120$ maneiras de escolher os algarismos de uma placa.

Pelo princípio da contagem, podemos formar $24\times120=2~880$ placas  distintas, seguindo as orientações do enunciado.

$\text{Alternativa B}$

2) Vamos chamar de $k$ a distância, em metros, percorrida pelo atleta no primeiro dia.

Assim, no segundo dia ele percorreu $k+400$  metros.

Pelo enunciado, no final dos $20$ dias ele percorreu $116~\text{km}$, isto é, $116~000$ metros.

Como a cada dia esse atleta fez $400$ metros a mais que o dia anterior, no vigésimo dia ele percorreu $k+19\cdot400=k+7~600$ metros.

Deste modo:

$k+(k+400)+(k+800)+(k+1~200)+\dots+(k+7~600)=116~000$

Observe que, os números $400,800,1~200,\dots,7~600$ formam uma $PA$ de $19$ termos, onde $a_1=400$, $r=400$ e $a_n=7~600$.

A soma dos $n$ primeiros termos de uma $PA$ é dada por

$S=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$.

Logo, a soma $400+800+1~200+\dots+7~600$ vale:
 
$400+800+1~200+\dots+7~600=\dfrac{(400+7~600)\cdot19}{2}=76~000$.

Com isso, como

$k+(k+400)+(k+800)+(k+1~200)+\dots+(k+7~600)=116~000$, temos:
 
$(k+k+k+\dots+k)+76~000=116~000$.

Logo,

$20k=116~000-76~000~~\Rightarrow~~20k=40~000~~\Rightarrow~~\boxed{k=2~000}$.

Portanto, o atleta percorreu $2~000$ metros no primeiro dia.
 
Com isso, no último dia ele percorreu $2~000+7~600=9~600$ metros, isto é, $9,6~\text{km}$.

$\text{Alternativa D}$

Espero ter ajudado, até mais ^^