Question

Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo
secreto (ou amigo oculto). Cada nome é escrito em um
pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada
participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de
que nenhum participante retire seu próprio nome é

Answer 1

 => Temos 4 participantes ...vamos começar por definir o espaço amostral (eventos possíveis) ..e que será dado 4! = 24 eventos

O que é pretendido é saber a probabilidade de que nenhum dos participantes retire o seu próprio nome ...o que implica que para definir os eventos favoráveis temos que utilizar a permutação caótica.

Recordando:

-> Uma permutação é designada caótica quando nenhum dos seus elementos se encontra na posição original.

-> A permutação caótica também é designada de "Desarranjo"

-> A formula a utilizar será (neste caso):

D(n) = n! . [1 - (1/1!) + (1/2!) - (1/3!) + (1/4!)]

resolvendo (note que n = 4):

D(4) = 4! . [1 - (1/1!) + (1/2!) - (1/3!) + (1/4!)]

D(4) = 24 . [1 - (1/1!) + (1/2) - (1/6) + (1/24)]

D(4) = 24 . [0 + (1/2) - (1/6) + (1/24)]

D(4) = [(24/2) - (24/6) + (24/24)]

D(4) = (12) - (4) + (1)

D(4) = 9 <-- eventos favoráveis 


Deste modo a probabilidade (P) será dada por:

P = D(n)/n!

P = 9/24

...simplificando ..mdc = 3

P = 3/8 <-- probabilidade pedida


Espero ter ajudado