Question

Dada a função y= raiz 1-x^2 , encontre a sua SEGUNDA derivada e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA.


y''=(-1)/(sqrt((1-x^2)))+(-x^2)/(sqrt((1-x^2)^3)


y''=(-1)/(sqrt((2x)))-(x^2)/(sqrt((2x)))


y''=(-1)/(sqrt((1-x^2)^3))-(x^2)/(sqrt((1-x^2))


y''=(1)/(sqrt(1-x^2))+(x^2)/(sqrt((1-x^2)^5))


y''=(1)/(sqrt((1-x^2)^3))-(x^2)/(sqrt((1-x^2)^3))

Answer 1

segue a resolução! não consegui traduzir as respostas, mas espero que ajude!!!

Answer 2

Olá


$\displaystyle \mathsf{y= \sqrt{1-x^2} }\\\\\mathsf{y=(1-x^2)^{ \frac{1}{2} }}\\\\\\\text{Derivando}\\\\\mathsf{y'= \frac{1}{2}\cdot (1-x^2)^{ \frac{1}{2} -1}\cdot (-2x^{2-1}) }\\\\\\\mathsf{y'= \frac{1}{2}(1-x^2)^{- \frac{1}{2} } \cdot (-2x)}\\\\\text{Simplifica}\\\\\mathsf{y'= \frac{1}{\diagup\!\!\!\!2}(1-x^2)^{- \frac{1}{2} } \cdot (-\diagup\!\!\!\!2x)}\\\\\\\boxed{\mathsf{y'= -x\cdot (1-x^2)^{- \frac{1}{2} } }}~~~~~~ ~\Longleftarrow \text{1}^a\text{ derivada}$

Agora para encontrar y'', basta derivar y'

Temos de aplicar a regra do produto, dada por:

$\displaystyle \mathsf{(f\cdot g)'=f'\cdot g ~+~f\cdot g'}\\\\\\\mathsf{y''=(-1\cdot (1-x^2)^{- \frac{1}{2} }) ~+~(-x\cdot \left(- \frac{1}{2}(1-x^2)^{- \frac{1}{2} -1} \right) \cdot (-2x))}\\\\\\\text{Simplificando}\\\\\\\mathsf{y''=(-1\cdot (1-x^2)^{- \frac{1}{2} }) ~+~(-x\cdot \left(- \frac{1}{\diagup\!\!\!\!2}(1-x^2)^{- \frac{1}{2} -1} \right) \cdot (-\diagup\!\!\!\!2x))}$

$\displaystyle \mathsf{y''=-(1-x^2)^{- \frac{1}{2} }~+ (-x\cdot (x\cdot (1-x^2)^{- \frac{3}{2} }))}\\\\\\\mathsf{y''=-(1-x^2)^{- \frac{1}{2} }~-~x^2(1-x^2)^{- \frac{3}{2} }}\\\\\\\text{Para tirar o negativo do expoente, basta passa-lo para o denominador}\\\\\mathsf{a^{-p}= \frac{1}{a^p} }\\\\\\\mathsf{y''=- \frac{1}{(1-x^2)^ \frac{1}{2} }~-~ \frac{x^2}{(1-x^2)^{ \frac{3}{2} }} } \\\\\\\text{E por ultimo, volta para forma de raiz}\\\\\mathsf{a^ \frac{m}{n}= \sqrt[n]{a^m} }$

$\displaystyle \boxed{\mathsf{y''=- \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } ~-~ \frac{x^2}{ \sqrt{(1-x^2)^3} } }}~~~~~ ~~\Longrightarrow \text{1}^a \text{ alternativa}$