Question

se a1, a2, ... ,a100 é uma progressao aritmética de razão r , então a sequência a1 - a100 , 
a2 - a99 , ... , a50 - a51, é uma progressão ... ? qual a razão desta progressão ?

Answer 1

Olá, Amanda !

Como $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{100}$ é uma $PA$, temos

$a_2-a_1=a_3-a_2=\dots=a_{100}-a_{99}=r$.

$a_n=a_1+(n-1)r$

Note que,

$a_2=a_1+r$, $a_3=a_1+2r$ e assim sucessivamente, até $a_{100}=a_1+99r$.

Assim,

$a_1-a_{100}=a_1-(a_1+99r)=-99r$.

$a_2-a_{99}=(a_1+r)-(a_1+98r)=-97r$.

$a_3-a_{98}=(a_1+2r)-(a_1+97r)=-95r$

$\dots$

$a_{49}-a_{52}=(a_1+48r)-(a_1+51r)=-3r$

$a_{50}-a_{51}=(a_1+49r)-(a_1+50r)=-r$

Veja que:

$(a_2-a_{99})-(a_1-a_{100})=-97r-(-99r)=2r$

$(a_3-a_{98})-(a_2-a_{99})=-95r-(-97r)=2r$

$\dots$

$(a_{50}-a_{51})-(a_{49}-a_{52})=-r-(-3r)=2r$.

Deste modo,

$(a_2-a_{99})-(a_1-a_{100})=(a_3-a_{98})-(a_2-a_{99})=\dots=(a_{50}-a_{51})-(a_{49}-a_{52})=2r$.

Logo, $(a_1-a_{100}),(a_2-a_{99}),\dots,(a_{50}-a_{51})$ é uma $PA$ e sua razão, $R$, é igual a:

$R=(a_2-a_{99})-(a_1-a_{100})=-97r-(-99r)=2r$